Определение треугольника

Треугольник - это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, последовательно соединенных между собой.

Треугольник имеет три стороны и три угла.

Существует множество видов треугольников, и все они обладают разными свойствами. Перечислим основные виды треугольников:

  1. Разносторонний (все стороны разной длины);
  2. Равнобедренный (две стороны равны, два угла при основании равны);
  3. Равносторонний (все стороны и все углы равны).

Однако для всех видов треугольников действует одна универсальная формула нахождения периметра треугольника – это сумма длин всех сторон треугольника.

Онлайн-калькулятор

Формула периметра треугольника

P = a + b + c P = a + b + c P = a + b + c

A , b , c a, b, c a , b , c - длины сторон треугольника.

Разберем задачи на нахождение периметра треугольника.

Задача

Треугольник имеет стороны: a = 28 см, b = 46 см, c = 51 см. Чему равен периметр треугольника?

Решение
Воспользуемся формулой нахождения периметра треугольника и подставим вместо a a a , b b b и c c c их численные значения:
P = a + b + c P = a + b + c P = a + b + c
P = 28 + 46 + 51 = 125 см P = 28 + 46 + 51 = 125\text{ см} P = 2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 см

Ответ:
P = 125 см. P = 125 \text{ см.} P = 1 2 5 см .

Задача

Треугольник является равносторонним со стороной 23 см. Чему равен периметр треугольника?

Решение

P = a + b + c P = a + b + c P = a + b + c

Но по условию у нас равносторонний треугольник, то есть все стороны у него равны. В этом случае формула примет следующий вид:

P = a + a + a = 3 a P = a + a + a = 3a P = a + a + a = 3 a

Подставляем в формулу численное значение и находим периметр треугольника:

P = 3 ⋅ 23 = 69 см P = 3\cdot23 = 69\text{ см} P = 3 ⋅ 2 3 = 6 9 см

Ответ
P = 69 см. P = 69 \text{ см.} P = 6 9 см .

Задача

В равнобедренном треугольнике боковая сторона b равна 14 см, а основание a – 9 см. Найти периметр треугольника.

Решение
Воспользуемся формулой нахождения периметра треугольника:

P = a + b + c P = a + b + c P = a + b + c

Но по условию у нас равнобедренный треугольник, то есть боковые стороны у него равны. В этом случае формула примет следующий вид:

P = a + b + b = 2 b + a P = a + b + b = 2b + a P = a + b + b = 2 b + a

Подставляем в формулу численные значения и находим периметр треугольника:

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 см P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text{ см} P = 2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 см

Ответ
P = 37 см. P = 37\text{ см.} P = 3 7 см .

P=a+b+c Как найти периметр треугольника: Всем известно, что периметр найти проще простого – надо всего лишь сложить все три стороны треугольника. Однако существует несколько других способов, с помощью которых можно найти сумму длин сторон треугольника. 1 шаг При известных радиусе вписанной в треугольник окружности и его площади найти периметр по формуле P=2S/r. 2 шаг Если ты знаешь два угла, например, α и β, прилежащих к стороне, и длину этой стороны, то для нахождения периметра используй формулу а+sinα∙а/(sin(180°-α-β)) + sinβ∙а/(sin(180°-α-β)). 3 шаг Если в условии указаны смежные стороны и угол β между ними, при нахождении периметра учитывай теорему косинусов. Тогда P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), где a^2 и b^2 – квадраты длин смежных сторон. Выражение под корнем – длина третьей неизвестной стороны, выраженная через теорему косинусов. 4шаг Для равнобедренного треугольника формула периметра принимает вид P=2a+b, где а – боковые стороны, а b – его основание. 5 шаг Периметр правильного треугольника рассчитай по формуле P=3a. 6 шаг Найди периметр с помощью радиусов вписанных в треугольник или описанных около него окружностей. Так, для равностороннего треугольника помни и используй формулу P=6r√3=3R√3, где r – радиус вписанной окружности, а R – радиус описанной окружности. 7 шаг Для равнобедренного треугольника примени формулу P=2R(2sinα+sinβ), в которой α – угол при основании, а β – угол, противолежащий основанию.

Периметр — это величина, подразумевающая длину всех сторон плоской (двумерной) геометрической фигуры. Для разных геометрических фигур существуют разные способы нахождения периметра.

В данной статье вы узнаете как находить периметр фигуры разными способами, в зависимости от известных его граней.

Вконтакте

Возможные методы:

  • известны все три стороны равнобедренного или любого другого треугольника;
  • как найти периметр прямоугольного треугольника при двух известных его гранях;
  • известны две грани и угол, который расположен между ними (формула косинусов) без средней линии и высоты.

Первый метод: известны все стороны фигуры

Как находить периметра треугольника, когда известны все три грани , необходимо использовать следующую формулу: P = a + b + c, где a,b,c — известные длины всех сторон треугольника, P — периметр фигуры.

Например, известны три стороны фигуры: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см. Это правильная равнобедренная фигура, чтобы вычислить периметр пользуемся формулой: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.

Данная формула подходит к любому треугольнику , необходимо просто знать длины всех его сторон. Если хотя бы одна из них неизвестна, необходимо воспользоваться другими способами, о которых мы поговорим ниже.

Еще один пример: a = 15 см, б = 13 см, c = 17 см. Вычисляем периметр: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.

Очень важно помечать единицу измерения в полученном ответе. В наших примерах длины сторон указаны в сантиметрах (см), однако, существуют разные задачи, в условиях которых присутствуют другие единицы измерения.

Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны

В том случае, когда в задании, которое нужно решить, дана прямоугольная фигура, длины двух граней которой известны, а третья нет, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.

Описывает соотношение между гранями прямоугольного треугольника. Формула, описываемая этой теоремой, является одной из самых известных и наиболее часто применяемых теорем в геометрии. Итак, сама теорема:

Стороны любого прямоугольного треугольника описываются таким уравнением: a^2 + b^2 = c^2, где а и b — катеты фигуры, а c — гипотенуза.

  • Гипотенуза . Она всегда расположена противоположно прямому углу (90 градусов), а также является самой длинной гранью треугольника. В математике принято обозначать гипотенузу буквой c.
  • Катеты — это грани прямоугольного треугольника, которые относятся к прямому углу и обозначаются буквами а и b. Один из катетов одновременно является и высотой фигуры.

Таким образом, если условиями задачи заданы длины двух из трех граней такой геометрической фигуры, с помощью теоремы Пифагора необходима найти размерность третьей грани, после чего воспользоваться формулой из первого метода.

Например, мы знаем длину 2-х катетов: a = 3 см, b = 5 см. Подставляем значения в теорему: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c^2 => c = 5 см. Итак, гипотенуза такого треугольника равна 5 см. К слову, данный пример является самым распространенным и называется . Иными словами, если два катета фигуры равны 3 см и 4 см, то гипотенуза составит 5 см соответственно.

Если неизвестна длина одного из катетов, необходимо преобразовать формулу следующим образом: c^2 — a^2 = b^2. И наоборот для другого катета.

Продолжим пример. Теперь необходимо обратиться к стандартной формуле поиска периметра фигуры: P = a + b + c. В нашем случае: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.

Третий метод: по двум граням и углу между ними

В старшей школе, а также университете, чаще всего приходится обращаться именно к данному способу нахождения периметра. Если условиями задачи заданы длины двух сторон, а также размерность угла между ними, то необходимо воспользоваться теоремой косинусов .

Данная теорема применима абсолютно к любому треугольнику, что и делает ее одной из наиболее полезных в геометрии. Сама теорема выглядит следующим образом: c^2 = a^2 + b^2 — (2 * a * b * cos(C)), где a,b,c — стандартно длины граней, а A,B и С — это углы, которые лежат напротив соответствующих граней треугольника. То есть, A — угол, противолежащий стороне a и так далее.

Представим, что описан треугольник, стороны а и б которого составляют 100 см и 120 см соответственно, а угол, лежащий между ними, составляет 97 градусов. То есть а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусов.

Все, что нужно сделать в данном случае — это подставить все известные значения в теорему косинусов. Длины известных граней возводятся в квадрат, после чего известные стороны перемножаются между друг другом и на два и умножаются на косинус угла между ними. Далее, необходимо сложить квадраты граней и отнять от них второе полученное значение. Из итоговой величины извлекается квадратный корень — это будет третья, неизвестная до этого сторона.

После того как все три грани фигуры известны, осталось воспользоваться уже полюбившейся нам стандартной формулой поиска периметра описываемой фигуры из первого метода.

Периметром треугольника , как в прочем и любой фигуры, называется сумма длин всех сторон. Довольно часто это значение помогает найти площадь или используется для расчета других параметров фигуры.
Формула периметра треугольника выглядит так:

Пример расчета периметра треугольника. Пусть дан треугольник со сторонами a = 4см, b = 6 см, c = 7 см. подставим данные в формулу: см

Формула расчета периметра равнобедренного треугольника будет выглядеть так:

Формула расчета периметра равностороннего треугольника :

Пример расчета периметра равностороннего треугольника. Когда все стороны фигуры равны, то их можно просто умножить на три. Допустим, дан правильный треугольник со стороной 5 см в таком случае: см

В общем, когда все стороны даны, найти периметр довольно просто. В остальных же ситуациях требуется найти размер недостающей стороны. В прямоугольном треугольнике можно найти третью сторону по теореме Пифагора . К примеру, если известны длины катетов, то можно найти гипотенузу по формуле:

Рассмотрим пример расчета периметра равнобедренного треугольника при условии, что мы знаем длину катетов в прямоугольном равнобедренном треугольнике.
Дан треугольник с катетами a =b =5 см. Найти периметр. Для начала найдем недостающую сторону с . см
Теперь посчитаем периметр: см
Периметр прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 17 см.

В случае, когда известна гипотенуза и длина одного катета, можно найти недостающий по формуле:
Если в прямом треугольнике известна гипотенуза и один из острых углов, то недостающая сторона находится по формуле.

Треугольник являет собой одну из фундаментальных геометрических фигур, представляющих собой три пересекающихся отрезка прямых. Эта фигура была известна еще ученым Древнего Египта, Древней Греции и Древнего Китая, которые и вывели большинство формул и закономерностей, используемых учеными, инженерами и конструкторами до сих пор.

К основным составным частям треугольника относятся:

Вершины - точки пересечения отрезков.

Стороны - пересекающиеся отрезки прямых.

Исходя из этих составных частей, формулируют такие понятия, как периметр треугольника, его площадь, вписанная и описанная окружность. Еще со школы известно, что периметр треугольника представляет собой числовое выражение суммы всех трех его сторон. В то же время формул для нахождения данной величины известно великое множество, в зависимости от тех исходных данных, которые есть у исследователя в том или ином случае.

1. Самый простой способ нахождения периметра треугольника используется в том случае, когда известны числовые значения всех трех его сторон (x,y,z), как следствие:

2. Периметр равностороннего треугольника можно найти, если вспомнить, что у данной фигуры все стороны, впрочем, как и все углы, равны. Зная длину этой стороны, периметр равностороннего треугольника можно определить по формуле:

3. У равнобедренного треугольника, в отличие от равностороннего, только две боковые стороны имеют одно и то же числовое значение, поэтому в этом случае в общем виде периметр будет находиться следующим образом:

4. Следующие способы необходимы в тех случаях, когда известны числовые значения не всех сторон. Например, если в исследовании есть данные о двух сторонах, а также известен угол между ними, то периметр треугольника может быть найден с помощью определения третьей стороны и известного угла. В этом случае эта третья сторона будет найдена по формуле:

z= 2x+2y-2xycosβ

Исходя из этого, периметр треугольника будет равен:

P= x+y+2x+(2y-2xycos β)

5. В том случае, когда изначально дана длина не более чем одной стороны треугольника и известны числовые величины двух углов прилегающих к ней, то периметр треугольника можно вычислить, опираясь на теорему синусов:

P = x+sinβ х/(sin(180°-β)) + sinγ x/(sin(180°-γ))

6. Бывают случаи, когда для нахождения периметра треугольника используются известные параметры вписанной в него окружности. Данная формула также известна большинству еще со школьной скамьи:

P= 2S/r (S - площадь окружности, тогда как r - ее радиус).

Из всего вышеприведенного видно, что величина периметра треугольника может быть найдена множеством способов, исходя из тех данных, которыми владеет исследователь. Кроме того, есть еще несколько частных случаев нахождения данной величины. Так, периметр является одной из важнейших величин и характеристик прямоугольного треугольника.

Как известно, таким треугольником называют фигуру, две стороны которой образуют прямой угол. Периметр прямоугольного треугольника находится через числовое выражение суммы обоих катетов и гипотенузы. В том случае, если исследователю известны данные только о двух сторонах, оставшуюся можно вычислить с помощью знаменитой теоремы Пифагора: z= (x2 + y2), если известны оба катета, или x= (z2 - y2), если известна гипотенуза и катет.

В том случае, если известна длина гипотенузы и один из прилежащих у ней углов, то две другие стороны находятся по формулам: х= z sinβ , y= z cosβ. В этом случае периметр будет равен:

P= z(cosβ + sinβ +1)

Также частным случаем является вычисление периметра правильного (или равностороннего) треугольника, то есть такой фигуры, у которой все стороны и все углы равны. Вычисление периметра такого треугольника по известной стороне никакой проблемы не составляет, однако, зачастую исследователю известны какие-то другие данные. Так, если известен радиус вписанной окружности, периметр правильного треугольника находится по формуле:

А если дана величина радиуса описанной окружности, периметр правильного треугольника будет найден следующим образом:

Формулы нужно запомнить, чтобы успешно применть на практике.