Н. И. Лобачевский. Его жизнь и научная деятельность Литвинова Елизавета Федоровна

Глава VII

Научная деятельность Лобачевского. – Из истории неевклидовой или воображаемой геометрии. – Участие Лобачевского в создании этой науки. – Различные, современные воззрения на будущность неевклидовой геометрии и отношение ее к евклидовой. – Параллель между Коперником и Лобачевским. – Следствия из трудов Лобачевского для теории познавания. – Работы Лобачевского по чистой математике, физике и астрономии .

Происхождение воображаемой, или неевклидовой, геометрии ведет свое начало от постулата Евклида, с которым все мы встречаемся в курсе элементарной геометрии. При занятиях геометрией в детстве нас удивляет обыкновенно не сам постулат, принятый без доказательства, а заявление учителя, что все попытки доказать его до сих пор оставались безуспешными.

Во-первых, нам представляется очевидным, что перпендикуляр и наклонная при достаточном продолжении пересекутся, а во-вторых, это кажется так легко доказать. И трудно найти человека, который бы учился геометрии и никогда не пробовал доказать постулат Евклида. Этому, можно сказать, соблазну одинаково подвержены люди талантливые и бездарные, с той только разницей, что первые скоро убеждаются в несостоятельности своих доказательств, а последние упорствуют в своем мнении. Отсюда бесчисленное множество попыток доказать упомянутый постулат.

На этом постулате, как известно, построена теория параллельных линий, на основании которой доказывается теорема Фалеса о равенстве суммы углов треугольника двум прямым углам. Если бы можно было, не прибегая к теории параллельных, доказать, что сумма углов треугольника равна двум прямым, то из этой теоремы можно было бы вывести доказательства постулата Евклида, и в таком случае вся элементарная геометрия была бы наукой строго дедуктивной.

Из истории геометрии нам известно, что один персидский математик, живший в середине XIII века, первый обратил внимание на теорему Фалеса и старался доказать ее, не пользуясь теорией параллельных. В основе этого доказательства, как и во всех последующих, легко было усмотреть безмолвное допущение того же постулата Евклида. Из бесчисленного множества последующих попыток такого рода заслуживают внимания только труды Лежандра, который почти полвека занимался этим вопросом.

Лежандр стремился доказать, что сумма углов треугольника не может быть ни более, ни менее двух прямых; из этого, конечно, следовало бы, что она должна быть равна двум прямым. В настоящее время доказательство Лежандра признано несостоятельным. Как бы то ни было, не достигнув главной своей цели, Лежандр многое сделал для изложения геометрии Евклида в смысле приспособления ее к требованиям нового времени, и элементарная геометрия в том виде, в каком проходят ее теперь, со всеми ее достоинствами и недостатками, принадлежит Лежандру.

Итальянец-иезуит Саккери в 1733 году в своих исследованиях приближался к идеям Лобачевского, то есть готов был отвергнуть постулат Евклида, но не решился этого высказать, а стремился во что бы то ни стало доказать его, и конечно, так же безуспешно.

В конце прошлого столетия в Германии гениальный Гаусс в 1792 году впервые задал себе смелый вопрос: что произойдет с геометрией, если отвергнуть постулат Евклида? Этот вопрос родился, можно сказать, вместе с Лобачевским, который ответил на него созданием своей воображаемой геометрии. Здесь представляется нам решить, возник ли этот вопрос самостоятельно в уме нашего Лобачевского, или его возбудил Бартельс, сообщив даровитому ученику мысль друга своего Гаусса, с которым до самого отъезда в Россию он поддерживал деятельные личные отношения. Некоторые современные русские математики, побуждаемые, вероятно, наилучшими чувствами, стремятся доказать, что мысль Гаусса возникла в уме Лобачевского совершенно самостоятельно. Доказать это невозможно; всем известно письмо Гаусса, относящееся к 1799 году, в котором он говорит: «Можно построить геометрию, для которой не имеет места аксиома о параллельных линиях».

Сошлемся на слова казанского профессора Васильева, доказавшего свое глубокое уважение к заслугам и памяти Лобачевского; говоря о близких отношениях Бартельса с Гауссом, он замечает:

«Нельзя считать поэтому слишком рискованным предположение, что Гаусс делился своими мыслями по вопросу о теории параллельных со своим учителем и другом Бартельсом. Мог ли, с другой стороны, Бартельс не сообщить о смелых взглядах Гаусса по одному из основных вопросов геометрии своему пытливому и талантливому казанскому ученику?» Разумеется, не мог.

Но умаляет ли все это заслуги Лобачевского? Конечно, нет.

Труды Лежандра, о которых мы упоминали, вышли в 1794 году. Они не удовлетворили, но оживили интерес к теории параллельных, и нам известно, что в первое двадцатипятилетие нашего столетия беспрестанно появлялись сочинения, относящиеся к теории параллельных. По словам профессора Васильева, многие из них и до сих пор сохранились в библиотеке Казанского университета и, как достоверно известно, были приобретены самим Лобачевским.

В 1816 году Гаусс оценил следующим образом все эти попытки: «Немного в области математики вопросов, о которых так много писалось бы, как о пробеле в началах геометрии, и все-таки мы должны признаться честно и откровенно, что в сущности мы не ушли за две тысячи лет дальше Евклида. Такое откровенное и прямое сознание более отвечает достоинству науки, чем тщетные желания скрыть пробел…»

Из всего этого мы видим, что в то время, когда Лобачевский вступал на математическое поприще, все было подготовлено к решению вопроса о теории параллельных в том смысле, в каком это было сделано Лобачевским. В 1825 году вышла теория параллельных немецкого математика Тауринуса, в которой упоминается о возможности такой геометрии, в которой постулат Евклида не имеет места. Первое сочинение Лобачевского, относящееся к этому предмету, представлено было физико-математическому факультету в Казани в 1826 году; оно вышло в свет в 1829 году, а в 1832 году появилось собрание трудов венгерских ученых, отца и сына Болиай, по неевклидовой геометрии. Нам известно, что Болиай-отец был другом Гаусса; из этого можно заключить, что ему более чем Лобачевскому были известны мысли Гаусса; между тем, право гражданства получила в Западной Европе геометрия Лобачевского. Первый труд Лобачевского, появившийся на немецком языке, заслужил, как мы сказали, одобрение Гаусса. По поводу его Гаусс писал к Шумахеру: «Вы знаете, что уже пятьдесят четыре года, как я разделяю те же взгляды. Я, собственно, не нашел в сочинении Лобачевского ни одного нового для меня факта; но изложение весьма различно от того, какое я предполагал дать этому предмету. Автор толкует о предмете как знаток, в истинно-геометрическом духе. Я считал себя обязанным обратить ваше внимание на эту книгу „Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien“,, чтение которой непременно принесет вам большое удовольствие». Письмо это написано в Геттингене и относится к 1846 году. Из него, однако, нельзя заключить, чтобы Гаусс не знал и раньше от Бартельса о трудах Лобачевского. Мы скажем более: невозможно допустить, чтобы Бартельс умолчал об успехах своего талантливого ученика.

Из сказанного нами очевидно, что краеугольный камень геометрии Лобачевского – это отрицание постулата Евклида, без которого геометрия около двух тысяч лет казалась немыслимой. Нам известно, как крепко всегда держались люди за наследие веков и сколько отваги требуется от человека, разрушающего вековые заблуждения. Из очерка жизни Лобачевского мы видели, как мало ценили и понимали его современники как ученого. И теперь, через сто лет после его рождения, в обыкновенных образованных людях держится глубокое предубеждение против геометрии Лобачевского, если только им известно о ее существовании. Изложить эту геометрию в популярной форме невозможно, как невозможно объяснить человеку, лишенному слуха, прелести соловьиных трелей. Для того чтобы понять значение этой отвлеченной науки, необходимо уметь отвлеченно мыслить, что дается только долгими занятиями философией и математикой. Имея это в виду, мы о созданной Лобачевским геометрии скажем только то, в чем она заключается, какое ей приписывают значение современные ученые, как и кем она разрабатывалась после Лобачевского и какое эти позднейшие труды имели отношение к трудам самого Лобачевского. Во всем этом читателю, не посвященному в тайны высшей математики, придется верить на слово авторитетам.

В юбилейных речах и брошюрах, посвященных памяти Лобачевского, русские математики употребили все усилия, чтобы разъяснить общественности характер и значение научных заслуг Лобачевского, и, так как они касались главным образом воображаемой геометрии, нам в данном случае предстоит воспользоваться этими усилиями. Но, проследив внимательно устные и печатные отзывы образованной публики, мы подметили общую неудовлетворенность и довольно определенно высказанные следующие требования: для человека, знающего только геометрию Евклида, самым существенным является вопрос, какое отношение имеет геометрия Лобачевского к этой геометрии. И об этом предмете также говорится в упомянутых речах, но все же здесь, как видно, публика требует прямые ответы на следующие вопросы: опровергает ли геометрия Лобачевского геометрию Евклида, заменяет ли ее, делая излишней, или представляет только обобщение последней? Какое она имеет отношение к четвертому измерению, которое сослужило такую службу спиритам? Следует ли Лобачевского считать, несмотря на все его достоинства, мечтателем в науке, и почему Лобачевского называют Коперником геометрии?

Мы уже говорили, что Лобачевский сначала имел в виду только улучшить изложение евклидовой геометрии, сообщить ее началам большую строгость и нисколько не думал подрывать этих начал. Попытки такого сильного ума, каким обладал Лежандр, убедили наконец истинных математиков в невозможности доказать постулат Евклида логически, то есть вывести его из свойств плоскости и прямой линии. Тогда Лобачевскому, имевшему вообще склонность к философии, пришла мысль проверить, подтверждается ли постулат Евклида опытом в пределах наибольших доступных нам расстояний.

Заметим, что в опыте он искал проверки, а не доказательства постулата.

Наибольшие доступные человеку расстояния – это те, которые дают ему астрономические наблюдения. Лобачевский убедился, что для этих расстояний результаты наблюдений совместимы с постулатом Евклида. Из этого следует, что и отсутствие логического доказательства этого постулата нисколько не подрывает истинности геометрии для доступных нам расстояний, а вместе с тем сохраняют свою истинность законы механики и физики, на ней основанные.

Но человеку свойственно задаваться мыслью: «Что там, за пределами доступных нам расстояний? Для тех, которые мы называем бесконечными, имеют ли абсолютное значение свойства нашего пространства?» Вот вопрос, который предложил себе Лобачевский.

Лобачевский построил свою геометрию логически, приняв известные нам аксиомы, относящиеся к прямой и к плоскости, и допустив как гипотезу, что сумма углов треугольника менее двух прямых. Но и при таком допущении, которое может иметь место только для пространств, размерами своими значительно превосходящих нашу солнечную систему, геометрия Лобачевского для доступных нам измерений дает те же результаты, что и геометрия Евклида. Совершенно правильно или, вернее, основательно один геометр назвал геометрию Лобачевского звездной геометрией. О бесконечных же расстояниях можно составить себе понятие, если вспомнить, что существуют звезды, от которых свет доходит до Земли тысячи лет. Итак, геометрия Лобачевского включает в себя геометрию Евклида не как частный, а как особый случай. В этом смысле первую можно назвать обобщением геометрии нам известной. Теперь возникает вопрос, принадлежит ли Лобачевскому изобретение четвертого измерения? Нисколько. Геометрия четырех и многих измерений создана была немецким математиком, учеником Гаусса, Риманном. Изучение свойств пространств в общем виде составляет теперь неевклидову геометрию, или геометрию Лобачевского. Пространство Лобачевского есть пространство трех измерений, отличающееся от нашего тем, что в нем не имеет места постулат Евклида. Свойства этого пространства в настоящее время уясняются при допущении четвертого измерения. Но этот шаг принадлежит уже последователям Лобачевского. Поэтому к неевклидовой геометрии примыкает и составляет как бы продолжение ее геометрия многих измерений, которая, придавая большую общность и отвлеченность многим вопросам геометрии, в то же время является незаменимым пособием при решении многих вопросов анализа.

Риманн в трактате «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» высказал мысль, что геометрия Евклида не составляет необходимого следствия наших понятий о пространстве вообще, но есть результат опыта, гипотез, которые находят себе подтверждение в пределах наших наблюдений. Риманн дал общие формулы, воспользовавшись которыми и применяя которые к исследованию так называемой псевдосферической поверхности (бокального вида), итальянский математик Бельтрами нашел, что все свойства линий и фигур геометрии Лобачевского принадлежат линиям и фигурам на этой поверхности. Вот какое отношение имела геометрия многих измерений к геометрии Лобачевского.

Труды Бельтрами привели к следующим важным заключениям: 1) геометрия двух измерений Лобачевского не есть воображаемая геометрия, а имеет объективное существование и вполне реальный характер; 2) то, что в геометрии Лобачевского соответствует нашей плоскости, есть псевдосферическая (бокальная) поверхность, а то, что он называет прямой линией, – геодезическая линия (кратчайшее расстояние между двумя точками) этой поверхности.

Существование геометрии двух измерений, отличной от нашей планиметрии, легко себе представить. Вообразим себе шаровую поверхность, эллиптическую или какую-нибудь вогнутую, и представим себе на ней линии и фигуры. Выпуклые и вогнутые поверхности называются кривыми поверхностями.

Наша плоскость, прямая поверхность, не имеет кривизны, и в математике принято говорить: кривизна плоскости равна нулю. Аналогично этому наше пространство не имеет кривизны. Кривые же поверхности имеют или положительную, или отрицательную кривизну. Бокальная поверхность имеет отрицательную кривизну, а эллиптическая – положительную. Аналогично этому пространству Лобачевского приписывают отрицательную кривизну.

Пространство Лобачевского, как отличающееся существенно от нашего, нельзя себе представить, оно только мыслимо. То же относится и к пространствам четырех и многих измерений.

К исследованиям Риманна тесно примыкают труды Гельмгольца, который справедливо говорит: «В то время, как Риманн вступил в эту новую область знания, отправляясь от самых общих и основных вопросов, я сам пришел к подобным же выводам».

Риманн исходил в своих исследованиях от алгебраического общего выражения расстояния между двумя бесконечно близкими точками и отсюда вывел различные свойства пространств; Гельмгольц же, исходя от факта возможности движения фигур и тел в нашем пространстве, вывел в конце концов формулу Риманна. Обладая умом в высшей степени ясным, Гельмгольц как бы осветил нам всю глубину мыслей Риманна.

В данном же случае для нас особенно важно, что, выясняя нам происхождение геометрических аксиом, он косвенно определил, в каком отношении находится геометрия Лобачевского к нашей.

По мнению Гельмгольца, главным затруднением в чисто геометрических исследованиях служит легкость, с которой мы здесь смешиваем ежедневный опыт с логическими процессами мысли. Гельмгольц доказывает, что в геометрии Евклида многое опирается на опыт и не может быть выведено логическим путем. Замечательно, что задачи построений играют в геометрии такую существенную роль. С первого взгляда они кажутся не более как практическими действиями, на самом же деле они имеют силу положений. Чтобы сделать очевидным равенство геометрических фигур, обыкновенно их накладывают мысленно одну на другую. В возможности такого положения мы с раннего возраста убеждаемся фактически. Гельмгольц доказывает также, что особенные характеристические черты нашего пространства суть опытного происхождения.

На основании физиологических данных, относящихся к устройству наших органов чувств, Гельмгольц приходит к очень важному для нас убеждению, что все наши способности к чувственным восприятиям распространяются на Евклидово пространство трех измерений, всякое же пространство, хотя и трех измерений, но имеющее кривизну, или пространство с числом измерений более трех, мы в силу самой своей организации не в состоянии себе представить.

Итак, учение Гельмгольца, которого справедливо считают гением нашего столетия, подтверждает, со своей стороны, результаты, добытые математиками Риманном и Лобачевским. Но если мы не в состоянии никакими естественными и искусственными средствами получить это представление, то все же геометрия двух измерений, отличная от нашей, доступна нашему представлению. Гельмгольц дает нам средства вникнуть в суть геометрии псевдосферической и сферической, прибегая к чрезвычайно остроумным приемам, останавливаться на которых мы, конечно, не будем. В данном случае для нас самое главное – это наглядная параллель между происхождением опытных и логических истин.

Пользуясь выводами Гельмгольца, легко уяснить, как надобно понимать пространство более трех измерений. Гельмгольц задавался вопросом, какова была бы геометрия у существ, которые знали бы по опыту только два измерения, то есть жили бы в плоскости, вполне с ней совмещаясь. Будучи плоскими, такие существа знали бы всю планиметрию в том именно виде, в каком мы – существа трех измерений – знаем ее теперь; но те же самые гипотетические существа не имели бы ни малейшего представления о третьем измерении, и вся наша стереометрия не могла бы иметь для них ничего конкретного. Тем не менее эти плоские существа, лишенные возможности действительно построить стереометрию, могли бы, пользуясь анализом, изучить ее аналитически. В совершенно таком же положении находимся мы, существа трех измерений, по отношению к пространству четырех измерений и вообще отличному от нашего: мы не можем создать синтетическую геометрию этого пространства, но ничто не препятствует нам изучить его свойства аналитически. Лобачевский первый дал опыт изучения такого пространства, которое лежит вне нашего опыта. Для людей, не владеющих математическим анализом, не существует ни пространство Лобачевского, ни геометрия многих измерений, как не существуют видимые только в телескоп небесные светила для людей, смотрящих на небо невооруженным глазом.

После того, что мы здесь сказали, нетрудно решить вопрос, был ли Лобачевский мечтателем в науке? Дальнейшие научные исследования доказали реальность его геометрии двух измерений и показали вообще возможность аналитического изучения пространств, отличающихся от нашего евклидовского. И, можно сказать, самые сильные умы нашего времени работают в духе Лобачевского, и то, что считали мечтою современники Лобачевского, в настоящее время признается глубоким, истинно научным исследованием.

Эта работа, как говорит профессор Васильев, ведется теперь и в отчизне Лобачевского, и во всех культурных странах Европы: в Англии, Франции, Германии, Италии, в едва пробуждающейся от умственного сна Испании, среди девственных лесов Техаса.

В задачу нашу не входит изложение учения спиритов о пространстве четырех измерений; мы заметим только то, что оно стремится убедить в реальном существовании пространства четырех измерений, и потому диаметрально противоположно взглядам истинных математиков и философов, доказывающих, напротив, полную невозможность этого для нас, смертных.

Отрадно видеть, что разработка идей Лобачевского все разрастается, и не только в области одной математики; в решении заключающихся в них вопросов должны принять участие и физиология органов чувств, и та область философии, которую теперь принято называть теорией познавания. В доказательство того, как далеко распространяется влияние идей Лобачевского, приведем слова г-на Михайлова, который говорит в своей поздравительной телеграмме Казанскому университету: «Я счастлив, что еще в 1888-1889 годах мог совместить философские принципы великого русского геометра Лобачевского и учение о симметрии великого француза Луи Пастера в моих лекциях по физиологии, читанных в Санкт-Петербургском университете».

От главных научных заслуг Лобачевского перейдем к второстепенным. Он не был исключительно геометром, как, например, немецкий математик Штейнер. Современные русские математики находят большой интерес и в его работах по алгебре и анализу. Одна из таких работ служит дополнением одной мысли Гаусса.

Лобачевский, как и Риманн, был не только математиком, но и философом, и значение его работ для теории познания почти так же велико, как и для математики. Замечательно, что не только в математике, но и в философии того времени был возбужден вопрос о сущности и происхождении геометрических аксиом.

Вообще эпоха, в которой жил Лобачевский, была знаменательной в умственной деятельности. О ней с восторгом говорит Гельмгольц: «Эта эпоха была богата духовными благами, воодушевлением, энергией, идеальными надеждами, творческими мыслями». К этой эпохе относится появление «Критики чистого разума» Канта, в которой заключалось также и новое учение о пространстве. Кант, как известно, утверждал, что представление о пространстве предшествует всякому опыту и потому есть вполне субъективная форма нашего воззрения, не зависящая от опыта. Такое учение было противоположно учению Локка и французских сенсуалистов, отрицавших врожденные идеи и субъективные априорные формы воззрения. Математики, вообще говоря, не отрицали существования последних; однако нам известно следующее мнение Гаусса: «Наше знание истин геометрии лишено того полного убеждения в их необходимости (и, следовательно, абсолютной истине), которое принадлежит учению о величинах; мы должны скромно сознаться, что если число есть только продукт нашего духа, то пространство и помимо нашего духа имеет реальность, которой мы не можем a priori предписывать законы».

Из приведенного здесь мнения Гаусса видно, что он признавал существенное различие между понятиями о величинах и представлением пространства. Первые суть результаты законов нашего ума, вторые суть следствия нашего опыта или результаты физиологических свойств наших органов чувств, определяющих характер всех нашего восприятия внешнего мира. Такие же взгляды мы встречаем у Лобачевского. Их считают диаметрально противоположными воззрениям Канта. В сущности, по нашему мнению, все воззрения Канта сводятся к тому же мнению, если глубоко вникнуть в то, что он разумеет под синтетическими воззрениями a priori, и перевести на современный язык. Вся разница в языке, в способах выражения. Мы одинаково не можем предписывать законы как действительности, так и нашему чувственному восприятию этой действительности. Этим объясняем мы тот факт, что многие приверженцы Канта являются последователями Лобачевского. Своим логическим построением геометрии без постулата Евклида Лобачевский несомненно косвенно доказал, что его нельзя вывести логически, и что, следовательно, евклидова геометрия не есть дедуктивная наука и никогда, ни при каких усилиях ума не может сделаться дедуктивной, потому все эти усилия следует считать бесплодными. И Клиффорд справедливо говорит, что после Лобачевского современный геометр, для которого равно логически возможными представляются и форма пространства, изученная Евклидом, и форма пространства, изученная Лобачевским, и та, с которой связано имя Риманна, – не станет утверждать, что он знает вообще свойства пространства на недоступных нам расстояниях; и не будет думать, что он может судить о том, какие свойства имело какое бы то ни было пространство и какие оно будет иметь.

Итак, труды Лобачевского и других ученых, занимавшихся неевклидовой геометрией, как бы сказали человеку: «Та геометрия, которая для тебя действительно существует, в логическом отношении есть только частный случай абсолютной геометрии; твоя геометрия есть земная и человеческая». После такого рода открытия горизонт человека должен был расшириться так же, как увеличился он после того, как тот же человек перестал думать, что земля есть центр мира, окруженная концентрическими хрустальными сферами, и вдруг осознал себя живущим на ничтожной песчинке в необъятном океане миров. Таковы были результаты переворота в науке, сделанного Коперником. Отсюда и параллель между Коперником и Лобачевским, приведенная в первый раз Клиффордом в его «Philosophy of the pure sciences» и освещенная теперь многими самыми выдающимися учеными. «Исследования Лобачевского, – говорит профессор Васильев, – поставили философии природы вопрос не меньшей важности, – вопрос о свойствах пространства: одинаковы ли эта свойства здесь и в тех далеких мирах, откуда свет доходит до нас в сотни тысяч, в миллионы лет? Таковы ли эти свойства теперь, какими были, когда солнечная система формировалась из туманного пятна, и каковы они будут, когда мир будет приближаться к тому состоянию всюду равномерно рассеянной энергии, в котором физики видят будущее мира?»

Вот какой широкий горизонт открывают нам те научные исследования, первое основание которых положено твердой рукой нашего знаменитого соотечественника. Лобачевский же, как мы видели, был истинным сыном молодого народа, благодаря доброй воле просвещенного монарха узревший свет науки в отдаленной полудикой восточной окраине России.

Мы уже говорили, что геометрия Лобачевского нисколько не подрывает геометрию Евклида; следовательно, она не грозит и всем нашим знаниям, основанием которым служит наша геометрия, названная Лобачевским употребительной.

В подтверждение этого приведем доказательство того высокого уважения к опыту, которое имел сам творец воображаемой геометрии. Он говорит в своих «Новых началах геометрии»: «Первыми данными, без сомнения, будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств. Ум может и должен приводить их к самому меньшему числу, чтобы они служили потом твердым основанием науке». В своей речи о «Важнейших предметах воспитания» Лобачевский останавливает внимание на словах Бэкона:

«Оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать удовлетворительно».

По форме выражения своих философских воззрений Лобачевский принадлежал, очевидно, к последователям Локка, – не верил в существование врожденных идей и был большим врагом всякой схоластики.

Несмотря на все это, мы, как уже говорили, не можем согласиться, что открытия Лобачевского нанесли косвенный, но смертельный удар воззрениям на пространство Канта. И с точки зрения человека, утверждающего вместе с Кантом, что представления о пространстве – результат нашей организации, что оно не получается из опыта, но обусловливает опыт – геометрия Лобачевского сохраняет всю свою силу. Неевклидова геометрия служит только опровержением ложного взгляда, что нашу геометрию, то есть геометрию употребительную, можно создать одной логикой. Противники Локка и сенсуалистов признают пользу неевклидовой геометрии не только для одного анализа. К числу их принадлежит профессор Цингер; он говорит: «Исследования (Лобачевского) могут быть очень полезны и для геометрии, потому что, представляя собою обобщение геометрических отношений, могут указывать на такие зависимости и связи между предложениями геометрии, подметить которые без их помощи было бы невозможно, и, таким образом, могут открывать новые пути для исследований о действительном пространстве».

Работы Лобачевского по чистой математике не переведены на иностранные языки, но очень вероятно, будь это сделано раньше, и они были бы известны за границей. В них Лобачевский проявил те же качества ума, которые обнаружил в геометрии, вникая в самую суть предмета и определяя с большой тонкостью различие понятий. Казанский профессор Васильев, ученик известного современного математика Вейерштрасса, находит, что Лобачевский еще в тридцатых годах высказывал необходимость различать непрерывность функции от ее дифференцируемости; в семидесятых годах эта задача была блистательно выполнена Вейерштрассом и произвела переворот в современной математике. Лобачевский работал также в области теории вероятности и механики; он относился с большим интересом и к астрономии. В 1842 году он наблюдал в Пензе полное солнечное затмение, и его очень заинтересовало явление солнечной короны.

В отчете своем об этой астрономической экспедиции он излагает и критикует различные взгляды на объяснение солнечной короны. По поводу этого он излагает свой взгляд на теорию света, в котором говорит между прочим: «Истинная теория должна заключаться в одном простом, единственном начале, откуда явление берется как необходимое следствие со всем своим разнообразием». Теория волнения его не удовлетворяла, и он пытался соединить ее с теорией истечения. Итак, хотя Лобачевский не во всех математических науках с одинаковым успехом развивал свои собственные взгляды, но общий характер его деятельности был везде один и тот же: везде он стремился установить общие начала и разобщить понятия, не вполне тождественные между собою. С такой силой ума и с таким стремлением он мог бы произвести переворот и в других математических науках, если бы имел возможность отдать им столько же времени, сколько отдавал геометрии.

В одном из своих сочинений по геометрии Лобачевский высказывает мысль, что, может быть, не известные нам законы молекулярных сил будут выражены с помощью неевклидовой геометрии. Если и эта мысль великого геометра осуществится, то труд его приобретет еще большее значение. Но во всяком случае, все это пока принадлежит еще к области мечтаний. Современные нам последователи Лобачевского также подразделяются на трезвых математиков и математиков-мечтателей, увлекающихся фантазией. Самые выдающиеся из первых – Бельтрами, Софус Ли и Пуанкаре; в ряду последних же видное место занимает умерший несколько лет тому назад астроном Вальнер, утверждавший, что наше пространство имеет кривизну. Один из пламенных его последователей в Америке пошел еще дальше, стремясь объяснить многие явления природы кривизной пространства.

«Думается, – говорит профессор Васильев, – что Лобачевский не одобрил бы (таких) умозрений о свойстве нашего пространства».

И мы заключим наш очерк научных заслуг Лобачевского признанием справедливости этих слов, которые должны предохранить нас от смешивания мечтаний на почве неевклидовой геометрии с научными исследованиями этого предмета, начало которым положено нашим соотечественником Лобачевским.

Из книги Бирон автора Курукин Игорь Владимирович

Глава четвертая «БИРОНОВЩИНА»: ГЛАВА БЕЗ ГЕРОЯ Хотя трепетал весь двор, хотя не было ни единого вельможи, который бы от злобы Бирона не ждал себе несчастия, но народ был порядочно управляем. Не был отягощен налогами, законы издавались ясны, а исполнялись в точности. М. М.

Из книги Настоящая книжка Фрэнка Заппы автора Заппа Фрэнк

ГЛАВА 9. Глава для моего отца На военно-воздушной базе Эдвардс (1956–1959) у отца имелся допуск к строжайшим военным секретам. Меня в тот период то и дело выгоняли из школы, и отец боялся, что ему из-за этого понизят степень секретности? а то и вовсе вышвырнут с работы. Он говорил,

Из книги Даниил Андреев - Рыцарь Розы автора Бежин Леонид Евгеньевич

Глава сорок первая ТУМАННОСТЬ АНДРОМЕДЫ: ВОССТАНОВЛЕННАЯ ГЛАВА Адриан, старший из братьев Горбовых, появляется в самом начале романа, в первой главе, и о нем рассказывается в заключительных главах. Первую главу мы приведем целиком, поскольку это единственная

Из книги Мои воспоминания. Книга первая автора Бенуа Александр Николаевич

ГЛАВА 15 Наша негласная помолвка. Моя глава в книге Мутера Приблизительно через месяц после нашего воссоединения Атя решительно объявила сестрам, все еще мечтавшим увидеть ее замужем за таким завидным женихом, каким представлялся им господин Сергеев, что она безусловно и

Из книги Петербургская повесть автора Басина Марианна Яковлевна

«ГЛАВА ЛИТЕРАТУРЫ, ГЛАВА ПОЭТОВ» О личности Белинского среди петербургских литераторов ходили разные толки. Недоучившийся студент, выгнанный из университета за неспособностью, горький пьяница, который пишет свои статьи не выходя из запоя… Правдой было лишь то, что

Из книги Записки гадкого утёнка автора Померанц Григорий Соломонович

Глава Десятая Нечаянная глава Все мои главные мысли приходили вдруг, нечаянно. Так и эта. Я читал рассказы Ингеборг Бахман. И вдруг почувствовал, что смертельно хочу сделать эту женщину счастливой. Она уже умерла. Я не видел никогда ее портрета. Единственная чувственная

Из книги Барон Унгерн. Даурский крестоносец или буддист с мечом автора Жуков Андрей Валентинович

Глава 14 Последняя глава, или Большевицкий театр Обстоятельства последнего месяца жизни барона Унгерна известны нам исключительно по советским источникам: протоколы допросов («опросные листы») «военнопленного Унгерна», отчеты и рапорты, составленные по материалам этих

Из книги Страницы моей жизни автора Кроль Моисей Ааронович

Глава 24. Новая глава в моей биографии. Наступил апрель 1899 года, и я себя снова стал чувствовать очень плохо. Это все еще сказывались результаты моей чрезмерной работы, когда я писал свою книгу. Доктор нашел, что я нуждаюсь в продолжительном отдыхе, и посоветовал мне

Из книги Петр Ильич Чайковский автора Кунин Иосиф Филиппович

Глава VI. ГЛАВА РУССКОЙ МУЗЫКИ Теперь мне кажется, что история всего мира разделяется на два периода, - подтрунивал над собой Петр Ильич в письме к племяннику Володе Давыдову: - первый период все то, что произошло от сотворения мира до сотворения «Пиковой дамы». Второй

Из книги Быть Иосифом Бродским. Апофеоз одиночества автора Соловьев Владимир Исаакович

Из книги Я, Майя Плисецкая автора Плисецкая Майя Михайловна

Глава 29. ГЛАВА ЭПИГРАФОВ Так вот она – настоящая С таинственным миром связь! Какая тоска щемящая, Какая беда стряслась! Мандельштам Все злые случаи на мя вооружились!.. Сумароков Иногда нужно иметь противу себя озлобленных. Гоголь Иного выгоднее иметь в числе врагов,

Из книги автора

Глава 30. УТЕШЕНИЕ В СЛЕЗАХ Глава последняя, прощальная, прощающая и жалостливая Я воображаю, что я скоро умру: мне иногда кажется, что все вокруг меня со мною прощается. Тургенев Вникнем во все это хорошенько, и вместо негодования сердце наше исполнится искренним

Из книги автора

Глава 10. ОТЩЕПЕНСТВО – 1969 (Первая глава о Бродском) Вопрос о том, почему у нас не печатают стихов ИБ – это во прос не об ИБ, но о русской культуре, о ее уровне. То, что его не печатают, – трагедия не его, не только его, но и читателя – не в том смысле, что тот не прочтет еще

Из книги автора

Глава 47 ГЛАВА БЕЗ НАЗВАНИЯ Какое название дать этой главе?.. Рассуждаю вслух (я всегда громко говорю сама с собою вслух - люди, не знающие меня, в сторону шарахаются).«Не мой Большой театр»? Или: «Как погиб Большой балет»? А может, такое, длинное: «Господа правители, не

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ухтинский государственный технический университет, г. Ухта

Жизнь Н.И. Лобачевского и его научная деятельность

“Иногда человеку воздают должное, даже если он не брал в долг.”

Николай ИвановичЛобачевскийродилсяв 1792 году в Нижнем Новгороде. У Николая Ивановича были старший и младший братья. Отец Николая - Иван Максимович Лобачевский работал чиновником в Нижнем Новгороде. Жена его - Прасковья Александровна была дочерью бедствующих мещан, больше о ней ничего неизвестно. Родители Николая поженились в молодом возрасте, обоим ещё не было восемнадцати на момент свадьбы. Вскоре после переезда отец будущего великого учёного умирает, в возрасте 40 лет, и оставляет свою семью в трудном финансовом положении. Однако, воспитывались братья Лобачевские в доме землемера Сергея Степановича Шебаршина, и не бедствовали. В 1802 году Прасковья Александровна отдаёт сыновей в Казанскую гимназию, на казённое содержание. Поначалу программа Университета мало чем отличалась от гимназийской, но ситуация изменилась к лучшему в 1808 году с приездом видных иностранных учёных Каспара Реннера, профессора математики, Мартина Бартельса, тоже профессора математики, являвшегося учителем и другом Карла Гаусса. Последний и привил Лобачевскому интерес к геометрии. Уже в 19 лет Николай Иванович получил степень магистра, и был оставлен при университете для подготовки к получению профессорского звания. В этом же году они вместе с М. Бартельсом изучают углублённо классические труды Гаусса и Лапласа: ”Теорию Чисел” и первые тома ”Небесной механики”. Изучение этих работ подтолкнуло Лобачевского к началу собственных исследований. В 1811 году он публикует ”Теорию об эллиптическом движении тел” и в 1813 - ”О разрешении алгебраического уравнения x m ? 1 = 0”. В 1814 году начинает преподавательскую деятельность.

Неевклидова Геометрия - главный труд жизни Лобачевского, научный подвиг, оказал огромное влияние на дальнейшее развитие математики и математического мышления. Первый труд, относящийся к этой теме Лобачевский опубликовал уже будучи ректором Казанского Университета, в 1826 году ”Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теорем о параллельных.”. Лобачевский был первым учёным, который представил общественности труды на эту тему. Другие учёные тоже занимались этой проблемой, но Лобачевский внёс наибольший вклад в её решение, поэтому, созданная им геометрия носит его имя. Также, среди опубликованных работ учёного: “О началах геометрии” (1829-1830), “Воображаемая геометрия “(1835), “Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам” (1836), “Новые начала геометрии с полной теорией параллельных” (1835-1838), “Геометрические исследования по теории параллельных линий” (1840). В основе математической дисциплины лежит система постулатов и аксиом. Геометрия Лобачевского не исключение. Лобачевский принимает все аксиомы и постулаты, предложенные геометрией Евклида и не зависящие от V постулата, а V постулат заменяет своим: ”На плоскости через точку, не лежащую на прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную”.

Две граничные прямые xx" и yy" (рис. 1) не пересекают прямой R и называются параллельными ей в точке P.

· Все прямые, находящиеся внутри угла xPy пересекают прямую R. PB - перпендикуляр к прямой R.

· Угол называется углом параллельности.

· Прямые, находящиеся внутри углов xPy" и yPx" не пересекают прямую R- называются расходящимися с прямой R.

В этом состоит главное отличие геометрии Лобачевского от евклидовой геометрии. Важно также отметить, что в геометрии Лобачевского:

1) Сумма углов треугольника всегда меньше 2d (двух прямых)

2) Не существует подобных фигур.

3) Единица длины задаётся некоторым геометрическим построением, то есть само пространство своими геометрическими свойствами определяет ту или иную единицу длины.

4) Задаётся направление параллельности.

Пространство, в котором предполагается выполнение аксиомы Лобачевского называется пространством Лобачевского. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве характеризуется при помощи конуса параллельности, являющегося аналогом понятия угла параллельности. Пусть дана плоскость Альфа и не лежащая на ней точка P (рис.2), PP" - перпендикуляр к Альфа. Pb - прямая, параллельная плоскости Альфа и P"B" - её проекция на эту плоскость. Тогда угол bPP" есть угол параллельности в точке P относительно P"B". Будем вращать прямую Pb вокруг перпендикуляра PP", и тогда Pb опишет коническую поверхность с вершиной в точке P. Эта поверхность называется конусом параллельности. Таким образом, все образующие этого конуса - параллельны плоскости альфа. Всякая прямая, проходящая через точку P внутри конуса пересекает плоскость альфа, проходящая вне конуса - расходится с альфа.

· Всякая плоскость, пересекающая конус по двум образующим пересекает Альфа.

· Всякая плоскость, проходящая по одной образующей конуса параллельна Альфа.

· Всякая плоскость, пересекающая лишь вершину конуса - называется расходящейся с плоскостью Альфа.

Впервые реализацию геометрии Лобачевского на поверхностях установил итальянский математик Бельтрами в 1868 г. (рис. 3). Он заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера. Однако здесь даётся только локальная интерпретация геометрии, то есть на ограниченном участке, а не на всей плоскости Лобачевского.

Спустя три года, в 1871 году, немецкий математик Клейн пришёл к другой, полноценной модели (рис. 4). Плоскостью в ней служит внутренность круга, прямой - хорда, исключая концы, точкой - точка внутри круга. Принадлежность между ними понимается в обычном евклидовом смысле, однако, V постулат Евклида здесь уже не выполняется, а выполняется именно аксиома Лобачевского: через точку P проходит бесконечно много прямых, не пересекающих прямую a. Также, выполняются все следствия аксиомы.

В 1882 г., была представлена ещё одна модель геометрии Лобачевского, французским математиком Пуанкаре (рис. 5). Роль плоскости Лобачевского играет открытая полуплоскость P, роль прямых выполняют содержащиеся в ней полуокружности, с центрами на ограничивающей прямой p, и лучи, перпендикулярные этой прямой. Точка “прямой” служит началом двух лучей, двух дуг полуокружностей (с исключенными концами). Ограничивающая прямая также исключена. Углом назовём фигуру из двух лучей с общим началом, не содержащихся в одной прямой. Полупрямые, перпендикулярные граничной прямой являются пределами рассмотренных полуокружностей (см. рис. б). Когда центр полуокружности удаляется по ограничивающей прямой, а полуокружность проходит через точку, то в пределе она “распрямляется” и становится также полупрямой. Поэтому в качестве прямых в этой модели рассматриваются полуокружности бесконечного радиуса. Все аксиомы евклидовой геометрии здесь выполняются, кроме аксиомы параллельных. Тем самым в этой модели выполняется геометрия Лобачевского. Можно строить аналитическую модель геометрии, представляя точки координатами и выражая расстояние формулой в координатах. Такую модель геометрии Лобачевского дал немецкий математик Риман в качестве частного случая общей определенной им геометрии, называемой теперь римановой.

Научные идеи Лобачевского не были поняты большинством современников, и после публикации первой работы по ”воображаемой геометрии” Николай Иванович подвергся жесточайшей травле на родине. Единственным прижизненным признанием его научных заслуг стало избрание в Гёттингенское королевское научное общество, благодаря рекомендациям Гаусса. Но, тем не менее, Лобачевский не сдавался, и до конца жизни верил, что торжество его идей неминуемо. В 1855 году он, потеряв зрение из-за тяжёлых переживаний и постоянного умственного напряжения, диктует свое последнее произведение ”Пангеометрия”. В следующем году он умер. Однако, после смерти Лобачевского, его идеи привлекли внимание научных кругов, и послужили могучим стимулом к пересмотру взглядов на основания геометрии. Его геометрия нашла применение в общей и специальной теории относительности, в теории чисел (в её геометрических методах). Геометрия Лобачевского имеет также и философское значение, так как расширяет наши представления об устройстве мира и пространства. На данный момент имеется немало научных сочинений, посвящённых геометрии Лобачевского как в отечественной литературе, так и в зарубежной. Изучение геометрии Лобачевского входит в обязательную часть программы математических отделений большинства наших ВУЗов и всех педагогических институтов - ознакомление с основами этой геометрической системы считается необходимой частью подготовки будущего учителя средней школы. В школьных математических кружках тоже широко культивируются занятия геометрией Лобачевского.

геометрия эллиптический лобачевский

Список использованной литературы

1) Геометрия Лобачевского [Электронный ресурс]:

http://en.wikipedia.org/wiki/Lobachevskian_geometry

2) Геометрия Лобачевского [Электронный ресурс]:

http://geom.kgsu.ru/index.php

3) Лобачевский, Николай Иванович [Электронный ресурс]:

http://en.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Lobachevsky

4) Модель Пуанкаре [Электронный ресурс]:

http://geometrie.ru/site/lobachevskiy/m1.htm

5) Широков П. А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского [текст]: /П. А. Широков - 2-е издание - М.: Наука, 1983 - 80 с.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

    Происхождение Неевклидовой геометрии. Возникновение "геометрии Лобачевского". Аксиоматика планиметрии Лобачевского. Три модели геометрии Лобачевского. Модель Пуанкаре и Клейна. Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами).

    реферат , добавлен 06.03.2009

    Биография Н.И. Лобачевского. Деятельность Лобачевского по организации печатного университетского органа и его попытки основать при университете Научное общество. История признания геометрии Н.И. Лобачевского в России. Появление неевклидовой геометрии.

    дипломная работа , добавлен 14.09.2011

    История возникновения неевклидовой геометрии. Сравнение постулатов параллельности Евклида и Лобачевского. Основные понятия и модели геометрии Лобачевского. Дефект треугольника и многоугольника, абсолютная единица длины. Определение параллельной прямой.

    курсовая работа , добавлен 15.03.2011

    Краткая биография Н.И. Лобачевского. История открытия неевклидовой геометрии. Основные факты и непротиворечивость геометрии Лобачевского, её значение и применение в математике и физике. Путь признания идей Н.И. Лобачевского в России и за рубежом.

    дипломная работа , добавлен 21.08.2011

    Студенческие годы Н.И. Лобачевского. Первые годы преподавательской деятельности. Организация печатного университетского органа. История открытия неевклидовой геометрии. Признание геометрии Н.И. Лобачевского и ее применение в математике и физике.

    дипломная работа , добавлен 05.03.2011

    Геометрические фигуры на поверхности сферы. Основные факты сферической геометрии. Понятия геометрии Лобачевского. Поверхность постоянной отрицательной кривизны. Геометрия Лобачевского в реальном мире. Основные понятия неевклидовой геометрии Римана.

    презентация , добавлен 12.04.2015

    Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского: вопрос о ее непротиворечивости. Инверсия, ее аналитическое задание. Преобразование окружности и прямой, сохранение углов при инверсии. Инвариантные прямые и окружности. Система аксиом геометрии Лобачевского.

    дипломная работа , добавлен 10.09.2009

    Обзор пяти групп аксиом, на которых зиждется планиметрия Лобачевского. Сущность модели Кэли-Клейна в высшей геометрии. Особенности доказательства теоремы косинусов, теорем о сумме углов треугольника, о четвертом признаке конгруэнтности треугольников.

    курсовая работа , добавлен 29.06.2013

    Биография русского ученого Н.И. Лобачевского. Система аксиом Гильберта. Параллельные прямые, треугольники и четырехугольники на плоскости и пространстве по Лобачевскому. Понятие о сферической геометрии. Доказательство теорем на различных моделях.

    реферат , добавлен 12.11.2010

    Изучение этапов развития геометрии – науки, изучающей пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре. Геометрия Древнего Египта, Греции, средневековья. Постулаты Н.И. Лобачевского.

Николай Иванович Лобачевский - выдающийся русский математик, на протяжении четырех десятков лет - ректор активист народного просвещения, основатель неевклидовой геометрии.

Это человек, который на несколько десятков лет опередил свое время и остался непонятым современниками.

Биография Лобачевского Николая Ивановича

Николай появился на свет 11 декабря 1792 года в малоимущей семье мелкого чиновника Ивана Максимовича и Прасковьи Александровны. Место рождения математика Николая Ивановича Лобачевского - Нижний Новгород. В 9-летнем возрасте, после смерти отца, он был перевезен матерью в Казань и в 1802 году принят в местную гимназию. После ее окончания в 1807 году Николай стал студентом только что основанного Казанского Императорского университета.

Под опекой М. Ф. Бартельса

Особую любовь к физико-математическим наукам будущему гению сумел привить Григорий Иванович Карташевский - талантливый преподаватель, глубоко знавший и ценивший свое дело. К сожалению, в конце 1806 года по причине разногласий с руководством университета «за проявление духа непокорности и несогласия» он был уволен с университетской службы. Курсы по математике стал вести Бартельс - учитель и друг знаменитого Карла Фридриха Гаусса. Прибывший в 1808 году в Казань, он взял покровительство над способным, но бедным студентом.

Новый преподаватель одобрил успехи Лобачевского, который под его наблюдением изучил такие классические труды, как «Теория чисел» Карла Гаусса и «Небесная механика» французского ученого Пьера-Симона Лапласа. За неповиновение, упорство и признаки безбожия на старшем курсе над Николаем нависла вероятность отчисления. Именно покровительство Бартельса поспособствовало отведению нависшей над одаренным студентом опасности.

в жизни Лобачевского

В 1811 году, по окончании Николай Иванович, краткая биография которого вызывает искренний интерес у молодого поколения, был утвержден магистром по математике и физике и оставлен при учебном заведении. Два научных исследования - по алгебре и механике, представленные в 1814 году (ранее срока), обусловили его возведение в адъюнкт-профессоры (доценты). Далее Лобачевский Николай Иванович, достижения которого впоследствии будут правильно оценены потомками, сам начал заниматься преподаванием, постепенно увеличивая круг читаемых им курсов (математика, астрономия, физика) и серьезно задумываясь о перестройке математических начал.

Студенты любили и высоко оценивали лекции Лобачевского, уже через год удостоившегося звания экстраординарного профессора.

Новые порядки Магницкого

С целью подавления вольномыслия и революционного настроя в обществе правительство Александра І стало опираться на идеологию религии с ее мистико-христианскими учениями. Первыми кардинальным проверкам подверглись университеты. В марте 1819 года в Казани с ревизией прибыл М. Л. Магницкий - представитель главного правления училищ, заботящийся исключительно о собственной карьере. По результатам его проверки состояние дел в университете оказалось крайне плачевным: недостаточная учёность воспитанников данного заведения влекла за собой причинение вреда обществу. Поэтому университет требовалось уничтожить (публично разрушить) - с целью поучительного примера для остальных.

Однако Александром І было принято решение исправить сложившуюся ситуацию руками этого же проверяющего, и Магницкий с особым рвением начал «наводить порядки» в стенах заведения: отстранил от работы 9 профессоров, ввел строжайшую цензуру лекций и суровый казарменный режим.

Широкая деятельность Лобачевского

Биография Лобачевского Николая Ивановича описывает сложный период установленной в университете церковно-полицейской системы, длившийся на протяжении 7 лет. Выдержать нелегкие испытания помогла сила непокорного духа и абсолютная занятость ученого, не оставлявшая ни минуты свободного времени.

Николай Иванович Лобачевский замещал Бартельса, покинувшего стены университета, и преподавал на всех курсах математику, также заведовал физическим кабинетом и читал данный предмет, обучал студентов астрономии и геодезии, пока И. М. Симонов находился в кругосветном путешествии. Огромный труд был вложен им в приведение в порядок библиотеки, а особенно наполнение ее физико-математической части. Попутно математик Николай Иванович Лобачевский, являясь председателем строительного комитета, руководил возведением главного корпуса университета и некоторое время занимал должность декана физико-математического факультета.

Неевклидова геометрия Лобачевского

Колоссальное число текущих дел, широкая педагогическая, административная и исследовательская работа не стали препятствием для творческой деятельности математика: из-под его пера вышли 2 учебника для гимназий - «Алгебра» (осужденная за применение и «Геометрия» (вовсе не опубликованная). Со стороны Магницкого за Николаем Ивановичем был установлен строгий надзор, по причине проявления ним дерзости и нарушения установленных инструкций. Однако и в этих условиях, действующих унизительно на человеческое достоинство, Лобачевский Николай Иванович упорно трудился над строгим построением геометрических основ. Результатом столь стало открытие ученым новой геометрии, совершенное на путях кардинального пересмотра понятий эпохи Евклида (ІІІ век до н. э.).

Зимой 1826 года русским математиком был осуществлен доклад о геометрических началах, переданный на отзыв нескольким именитым профессорам. Однако ожидаемой рецензии (ни положительной, ни даже отрицательной) не поступило, а рукопись ценного доклада до наших времен не дошла. Данный материал ученый включил в свой первый труд «О началах геометрии», напечатанный в 1829-1830 гг. в «Казанском вестнике». Помимо изложения важных геометрических открытий, Николай Иванович Лобачевский описал уточненное определение функции (четко разграничивая ее непрерывность и дифференцируемость), незаслуженно приписанное немецкому математику Дирихле. Также ученым были сделаны тщательные исследования тригонометрических рядов, оцененные несколько десятилетий спустя. Талантливый математик является автором метода численного решения уравнений, со временем несправедливо получившего название «метод Греффе».

Лобачевский Николай Иванович: интересные факты

Ревизора Магницкого, несколько лет наводившего страх своими действиями, ожидала незавидная участь: за множество злоупотреблений, выявленных специальной ревизионной комиссией, он был смещен с поста и выслан в ссылку. Очередным попечителем учебного заведения был назначен Михаил Николаевич Мусин-Пушкин, сумевший по достоинству оценить активную деятельность Николая Лобачевского и рекомендовавший его на должность ректора Казанского университета.

В течение 19 лет, начиная с 1827 года, Лобачевский Николай Иванович (фото памятника в Казани см. выше) усердно трудился на данном посту, добиваясь рассвета своего любимого детища. На счету Лобачевского - явное улучшение уровня научно-учебной деятельности в целом, строительство огромного числа служебных зданий (физический кабинет, библиотека, химическая лаборатория, астрономическая и магнитная обсерватория, механические мастерские). Также ректор является основателем строгого научного журнала «Ученые записки Казанского университета», заменившего «Казанский вестник» и впервые опубликованного в 1834 году. Параллельно с ректорством на протяжении 8 лет Николай Иванович руководил библиотекой, занимался преподавательской деятельностью, писал наставления учителям математики.

К заслугам Лобачевского нельзя не отнести его искреннюю сердечную заботу об университете и его учащихся. Так, в 1830 году он сумел изолировать учебную территорию и провести доскональную дезинфекцию, чтобы спасти от эпидемии холеры коллектив учебного заведения. Во время страшнейшего пожара в Казани (1842 год) сумел спасти практически все учебные здания, астрономические инструменты и библиотечные материал. Также Николай Иванович открыл широким массам свободное посещение университетской библиотеки и музеев и организовал занятия научно-популярной тематики для населения.

Благодаря неимоверным усилиям Лобачевского авторитетный, первоклассный, прекрасно оснащенный Казанский университет стал одним из лучших учебных заведений в России.

Непонимание и непринятие идей русского математика

Все это время математик не останавливался в проводимых исследованиях, направленных на развитие новой геометрии. К сожалению, его идеи - глубокие и свежие, настолько шли вразрез с общепринятыми аксиомами, что современники не сумели, а возможно, и не захотели по достоинству оценить труды Лобачевского. Непонимание и, можно сказать, в некоторой степени издевательства не остановили Николая Ивановича: в 1835 году он опубликовал «Воображаемую геометрию», а год спустя - «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам». Через три года свет увидел наиболее обширный труд «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», в котором содержалось лаконичное, предельно ясное изъяснение его ключевых идей.

Тяжелый период в жизни математика

Не получив понимания на родной земле, Лобачевский решил обзавестись единомышленниками за ее пределами.

В 1840 году Лобачевский Николай Иванович (фото см. в обзоре) напечатал свой труд с четко изложенными основными идеями на немецком языке. Один экземпляр данного издания был вручен Гауссу, который и сам негласно занимался неевклидовой геометрией, но так и не рискнул выступить публично со своими мыслями. Ознакомившись с трудами русского коллеги, немец порекомендовал избрать русского коллегу в Геттингенское королевское общество в качестве члена-корреспондента. Хвалебно о Лобачевском Гаусс отзывался только в собственных дневниках и в кругу самых доверенных людей. Избрание Лобачевского все-таки состоялось; произошло это в 1842 году, однако положения русского ученого оно никак не улучшило: ему оставалось работать в университете еще 4 года.

Правительство Николая І не захотело оценить многолетние труды Лобачевского Николая Ивановича и в 1846 году отстранило его от работы в университете, официально назвав причину: резкое ухудшение здоровья. Формально бывшему ректору была предложена должность помощника попечителя, однако без назначения жалования. Незадолго до снятия с должности и лишения профессорской кафедры Лобачевский Николай Иванович, краткая биография которого и сегодня изучается в учебных заведениях, рекомендовал вместо себя преподавателя Казанской гимназии А. Ф. Попова, отлично защитившего докторскую диссертацию. Николай Иванович считал необходимым дать правильную дорогу в жизни молодому способному ученому и находил неуместным занимать кафедру при таких обстоятельствах. Но, утратив все сразу и оказавшись в совершенно ненужной для себя должности, Лобачевский лишился возможности не только руководить университетом, но и хоть как-то участвовать в деятельности учебного заведения.

В семейной жизни Лобачевский Николай Иванович с 1832 года был женат на Варваре Алексеевне Моисеевой. В этом браке родились 18 детей, но выжили всего лишь семеро.

Последние годы жизни

Принудительное отстранение от дела всей его жизни, непринятие новой геометрии, грубая неблагодарность современников, резкое ухудшение материального положения (по причине разорения имение супруги было продано за долги) и семейное горе (потеря в 1852 году старшего сына) разрушающим образом отразились на физическом и духовном здоровье русского математика: он заметно осунулся и стал терять зрение. Но и ослепший Николай Иванович Лобачевский не прекращал посещать экзамены, приходил на торжественные события, участвовал в ученых диспутах и продолжал трудиться на благо науке. Главный труд русского математика «Пангеометрия» был записан учениками под диктовку ослепшего Лобачевского за год до его смерти.

Лобачевский Николай Иванович, открытия в геометрии которого были оценены лишь десятки лет спустя, являлся не единственным исследователем новой области математики. Венгерский ученый Янош Бойяи, независимо от русского коллеги, вынес на суд коллег в 1832 году свое видение неевклидовой геометрии. Однако и его труды не были оценены современниками.

Жизнь выдающегося ученого, целиком посвященная русской науке и Казанскому университету, закончилась 24 февраля 1856 года. Похоронили Лобачевского, так и не признанного при жизни, в Казани, на Арском кладбище. Лишь по прошествии нескольких десятилетий обстановка в научном мире изменилась кардинально. Огромную роль в признании и принятии трудов Николая Лобачевского сыграли исследования Анри Пуанкаре, Эудженио Бельтрами, Феликса Клейна. Понимание того, что у евклидовой геометрии появилась полновесная альтернатива, существенно повлияло на научный мир и придало стимул другим смелым идеям в точных науках.

Место и дата рождения Николая Ивановича Лобачевского известны многим современникам, имеющим отношение к точным наукам. В честь Николая Ивановича Лобачевского получил название кратер на Луне. Имя великого русского ученого носит научная библиотека университета в Казани, которому он посвятил огромный кусок своей жизни. Также улицы Лобачевского имеются во многих городах России, в том числе в Москве, Казани, Липецке.

/ П.С.Александров // Успехи математических наук. - 1946. - Т.1. - N 1(11). - C.11-14. но

  • Бажанов В.А. К истории премии имени Н.И.Лобачевского / В.А.Бажанов // Природа. - 1993. - N 7. - С.31-32. но
  • Бажанов В. Лобачевский в интеллектуальной истории человечества / В.Бажанов // Татарстан. - Казань, 1992. - N 7/8. - С.74-76.
  • Белл Э.Т. Творцы математики: Предшественники соврем. математики. Пособие для учителей. [Пер. с англ.] / Под ред. и с доп. С.Н.Киро. - М.: Просвещение, 1979. - 254 c. Г79-13966 к/х
  • Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский, 1792-1856 / А.В.Васильев. - М.: Наука, 1992. - 229 с. - (Науч.-биогр. сер). Г92-8137 к/х
  • Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский: речь, произнесенная в торжественном собрании Имп. Казанск. ун-та 22 октября 1893 г. проф. А. Васильевым. - Казань: типо-лит. Имп. Ун-та, 1894. - 40 с. но
  • Вишневский В. В. 200-летие Н.И.Лобачевского, его итоги и уроки / В.Вишневский // Труды геометрического семинара: сборник. - Казань, 1997. - вып.23. - С.23-32. В статье подробно описываются различные аспекты подготовки к празднованию 200-летия со дня рождения Н. И. Лобачевского и его проведения, в частности рассказывается о международной конференции "Лобачевский и современная геометрия", о вручении медали Лобачевского. Приводится список газетных и журнальных публикаций, а также документальных кинофильмов, посвященных данной теме. Р2817/23 кх2
  • Вишневский В.В. Доклад на открытии конференции "Лобачевский и современная геометрия" / В.В.Вишневский // In memoriam N.I.Lobatschevskii. - Казань,Изд-во Казанского ун-та. - 1995. - V.3. - N 2. - P.3-11.
  • Володаров В.П. Непризнанный при жизни гений: К 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского / В.П.Володаров // Вестник РАН. - 1992. - N 12. - С.84-92. но
  • Гнеденко Б.В. Лобачевский Н.И. как педагог и просветитель / Б.В.Гнеденко // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика, механика. - 1994. - N 2. - С.15-23. но
  • Гудков Д.А. Н.И.Лобачевский: загадки биографии / Д.А.Гудков. - Н. Новгород: ННГУ, 1992. - 241 с. Г93-7217 кх4
  • Ефимов Н.В. Николай Иванович Лобачевский (к столетию со дня смерти Лобачевского) / Н.В.Ефимов // Успехи математических наук. - 1956. - Т.11. - N 1(67). - С.3-15. но
  • Изотов Г.Е. К истории опубликования Н.И.Лобачевским сочинений по "воображаемой" геометрии / Г.Е.Изотов // Вопросы истории естествознания и техники. - 1992. - N 4. - С.36-43. но
  • Изотов Г.Е. Легенды и действительность в биографии Лобачевского / Г.Е.Изотов // Природа. - 1993. - N 7. - С.4-11. но
  • Иванова М.А. Н.И.Лобачевский - выдающийся деятель науки / М.А.Иванова, И.Н.Кандаурова // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. - 2006. - N 47-2. - С.106-109.
  • Каган В.Ф. Великий русский ученый Н.И.Лобачевский и его место в мировой науке / В.Ф.Каган. - М.-Л.: Гостехиз-Дат, Образцовая тип. в Мск., 1948. - 84 с. 513-К129 к/х
  • Каган В.Ф. Лобачевский. / В.Ф.Каган. - М.-Л., 1948. - 508 с. 51-К129 к/х
  • Каган В.Ф. Лобачевский / В.Ф.Каган. - М.-Л., 1944. - 347 с. 51-К129 к/х
  • Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки / В.Ф.Каган. - 1955. - 304 с. 51-К129 к/х
  • Каган В.Ф. Основания геометрии. Учение об основании геометрии в ходе его исторического развития. - Ч.1 Геометрия Лобачевского и ее предистория. - М.-Л., 1949. - 492 с. Ч.2 Интерпретации геометрии Лобачевского и развитие ее идей. - М.-Л., 1956. - 344 с. 513-К129/N1,2 к/х
  • Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского: открытие и путь в современность / С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, А.Г.Попов // Природа. - 1993. - N 7. - С.19-27. но
  • Колесников М.С. Лобачевский / М.С.Колесников. - М., 1965. - 319 с. 51-К603 к/х
  • Кольман Э.Б. Великий русский мыслитель Н.И. Лобачевский / Э.Б.Кольман. - М., 1956. - 102 с. 51-К623 к/х
  • Кроу Г. Лобачевский в контексте его эпохи / Г.Кроу // Природа. - 1993. - N 7. - С.11-18. но
  • Кузнецов Б.Г. Ломоносов; Лобачевский; Менделеев: очерки жизни и мировоззрения / Б.Г.Кузнецов; предисл. В.Л.Комарова; АН СССР; Институт истории естествознания. - М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1945. - 334 с.
  • Кузнецов Б. Lomonosovas. Lobacevskis. Mendelejevas / Б.Кузнецов. - Dalis 1- Kaune, 1947. - 87 p. 5-K97/N2 ино. к/х
  • Лаптев Б.Л. Жизнь и деятельность Н.И.Лобачевского / Б.Л.Лаптев // Успехи математических наук. - 1951. - Т.6. - N 3(43). - C.10-17. но
  • Лаптев Б.Л. Н.И.Лобачевский и его геометрия / Б.Л.Лаптев. - М., 1976. - 112 с. Г76-19641 к/х
  • Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский. К 150-летию геометрии Лобачевского 1826-1926 / Б.Л.Лаптев. - Казань, 1976. - 136 с. Г76-9822 к/х
  • Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский, 1792-1856 / Лаптев Б.Л. - Казань: Изд-во Казан. гос. ун-та, 2001. - 76 с. Г2002-9251 В1д-Л246 ч/з1
  • Лахтинъ Л.К. О жизни и научныхъ трудахъ Николая Ивановича Лобачевскаго (по поводу столетней годовщины дня его рожденiя) / Л.Лахтинъ // Математический сборник. - 1894. - Т.17. - N 3. - С.474-493. к/х
  • Литвинова Е. Ф. Н.И.Лобачевский. Его жизнь и научная деятельность: биографический очерк. - СПб.: Товарищество "Общественная польза", 1894. - 84 с.: портр. - (Жизнь замечательных людей: Биографическая библиотека Ф. Павленкова). но
  • Лобачевский. Карл Бэр. Пирогов. С.Соловьев. С.Боткин. Ковалевская: [биогр. очерки]. - СПб., 1996. - 487 с. - (Жизнь замечательных людей. Биогр. библиотека Ф.Павленкова). Г97-2716 кх4
  • Люстерник Л.А. Мысли и высказывания Н.И.Лобачевского / Л.А.Люстерник // Успехи математических наук. - 1946. - Т.1. - N 1(11). - С.15-21. но
  • Модзалевский Л.Б. Материалы для биографии Н.И. Лобачевского / Л.Б.Модзалевский. - М-Л., 1948 - 828 с. 51-М744 к/х
  • Научное наследство / [АН СССР, Архив, Ин-т истории естествознания и техники]. - Москва: Изд-во АН СССР, 1948 - Т.12: Новые материалы к биографии Н.И.Лобачевского / сост. и авт. примеч. Б.В.Федоренко. - Ленинград: Наука. Ленингр. отд-ние, 1988. - 382 с. 5-Н.346/N12 к/х
  • Николай Иванович Лобачевский. (1793-1856): сб. статей / ред. С.А. Соболев. - М.-Л., 1943. - 84 с. 51-Л68 к/х
  • Николай Иванович Лобачевский. 1793-2 ноября 1943. Сто пятьдесят лет со дня рождения. - Саратов. 1943. - 12 с. 513-Л68 к/х
  • Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей (к столетию со дня смерти Лобачевского). - М., 1956. - 527 с. 513-О.13 но
  • Памяти Лобачевского посвящается: [сборник / Науч. ред. и сост. А.П.Широков]. - Казань: Изд-во Казан. ун-та. - Вып.1. - 135 с. Г93-792/N1 кх4
  • Паскаль, Ньютон, Линней, Лобачевский, Мальтус: биогр. повествования / [Сост., общ. ред. Н.Ф.Болдырева]. - Челябинск: Урал, 1998. - 447 с. - (Жизнь замечательных людей. Биографическая библиотека Ф. Павленкова; т.10). Ю3-П192 но
  • Пионеры русского искусства и науки: жизнь и деятельность К.Брюллова, А.Иванова, П.Федотова, Н.Пирогова, С.Боткина и Н.Лобачевского: сост. по лучшим источникам. - Санкт-Петербург, - 282 с. но
  • Полотовский Г.М. Как изучалась биография Н.И.Лобачевского: к 150-летию со дня смерти Н.И.Лобачевского / Г.М.Полотовский // Математика в высшем образовании. - 2006. - N 4 - С.79-88.
  • Полотовский Г.М. Кто был отцом Николая Ивановича Лобачевского?: (по книге Д.А.Гудкова "Н.И.Лобачевский. Загадка биографии") / Г.М.Полотовский // Вопросы истории естествознания и техники. - 1992. - N 4. - С.30-36. но
  • Рыбкин Г.Ф. О мировоззрении Н.И.Лобачевского / Г.Ф.Рыбкин // Успехи математических наук. - 1951. - Т.6. - N 3(43). - C.18-30. но
  • Смогоржевский А.С. О геометрии Лобачевского / А.С.Смогоржевский. - Москва: Гостехтеоретиздат, 1957. - 67 с. - (Популярные лекции по математике; вып.23) 513-С51 к/х
  • Файдель Э. Николай Иванович Лобачевский. Перечень трудов и биографических материалов / Э.Файдель, К.Шафрановский. - М.-Л.,1944. - 24 с. О12-Ф17 к/х
  • Федоренко Б.В. Годы учения Н.И.Лобачевского и его первые геометрические исследования. автореферат дисс.… / Б.В.Федоренко. - М., 1958. - 13 с. А-28679 к/х
  • Федоренко Б.В. Некоторые сведения к биографии Н.И.Лобачевского / Б.В.Федоренко // Историко-математические исследования. - Вып.9. - М., 1956. - С.65-75. 51-И902/N9 к/х
  • Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского / П.А.Широков - М., 2009. - 76 с. - (Науку-всем!: шедевры науч.-попул. лит. Математика). Г2009-7055 В181/Ш645 ч/з1
  • Duffy С. "Nicholas Ivanovich Lobachevsky" / С.Duffy // In memoriam N.I.Lobatschevskii. - Казань,Изд-во Казанского ун-та. - 1995. - V.3. - N 2. - P.145-156.
    • ЗНАЧЕНИЕ ТРУДОВ Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО ДЛЯ РАЗВИТИЯ НАУКИ
    1. Александров А.Д. Значение геометрии Лобачевского / А.Д.Александров // In memoriam N.I.Lobatschevskii. - Казань,Изд-во Казанского ун-та. - 1995. - V.3. - N 1. - P.4-9.
    2. Александров И.А. О работах Н.И.Лобачевского в области математического анализа / И.А.Александров // 2 Сиб. геом. конф., Томск, 26-30 нояб., 1996. - Томск, 1996. - С.8-12. Г97-2512 кх4
    3. Александров П.С. Н.И.Лобачевский - великий русский математик [К 100-летию со дня смерти]. Стенограмма публичной лекции. / П.С.Александров. - М.,1956. - 24 с. 51-А464 к/х
    4. Беспамятных Н.Д. Научное и методическое значение алгебраических работ Н.И. Лобачевского: автореф. дисс. ... / Н.Д.Беспамятных. - Гродно, 1949. - 6 с. А-7079 к/х
    5. Бонола Р. Неевклидова геометрия: критико-историческое исследование ее развития / Р.Бонола; пер. с итал. и предисл. А.Р.Кулишера; предисл. Г.Либмана. - М.: URSS, 2010. - 216 с. - (Физико-математическое наследие: математика (история математики): ФМН). - Из прил.: Отношение Н.И.Лобачевского к теории параллельных линий до 1826 года: статья / А.В.Васильев. В18-Б815 но
    6. Бухштабер В.М. История премии им. Н.И.Лобачевского (к 100-летию первого присуждения в 1897 г.) / В.М.Бухштабер, С.П.Новиков // Успехи математических наук. - 1998. - Т.53. - N 1(319). - С.235-238. но
    7. Васильев А.В. Значение Н.И.Лобачевского для Императорского Казанского университета: Речь, произнес. в день открытия памятника Н.И.Лобачевского 1 сент. 1896 г. проф. А. Васильевым - Казань: типо-лит. Имп. Ун-та, 1896.
    8. Вахтин Б.М. Великий русский математик Н.И.Лобачевский / Б.М.Вахтин. - М., 1956. - 55 с. 51-В.226 к/х
    9. Вишневский B.В. Вклад Бояи, Гаусса и Лобачевского в открытие неевклидовой геометрии (к 200-летию со дня рождения Яноша Бояи) / B.В.Вишневский // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2002. - N 11. - С.3-7. но
    10. Вишневский В.В. Творческое наследие Н.И.Лобачевского и его роль в становлении и развитии Казанского университета / В.В.Вишневский. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2006. - 65 с. Г2007-7213 В1д/В555 ч/з1
    11. Гайдук Ю.М. Дополнительные материалы к истории распространения идей Н.И.Лобачевского в России / Б.В.Федоренко // Историко-математические исследования. - Вып.9. - М., 1956. - С.215-246. 51-И902/N9 к/х
    12. Герасимова В.М. Указатель литературы по геометрии Лобачевского и развитию ее идей / В.М.Герасимова. - М., 1952. - 192 с. 513-Г361/N7 к/х
    13. Глухов А. "Хранить огонь жизни": Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) / А.Глухов // Университетская книга. - 2000. - N 5. - C.24-28. С4921 ч/з11
    14. Делоне Б.Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского / Б.Н.Делоне. - М., 1956. - 139 с. 513-Д295 к/х
    15. Дульский П.М. Строитель Казанского университета великий русский математик Н.И.Лобачевский и его иконография / П.М.Дульский // Каган В.Ф. Лобачевский. - М.-Л., 1948. - С.273-487. 51-К129 к/х
    16. Евтушик Л.Е. Влияние идей Лобачевского на развитие дифференциальной геометрии / Л.Е.Евтушик, А.К.Рыбников // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика, механика. - 1994. - N 2. - С.3-14. но
    17. Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика / С.Б.Кадомцев. - 2-е изд., испр. - М., 2007. - 63 с. В18/К136 но
    18. Ковешников Е.В. Неполнота и неопределенность классической геометрии Евклида и история их преодоленияв геометриях Лобачевского, Римана, Гильберта и Мандельброта / Е.В.Ковешников, В.Н.Савченко // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. - 2011. - N 5. - С.77-83. но
    19. Курашов В. Уроки Н.И.Лобачевского / В.Курашов // Высшее образование в России. - 2005. - N 5. - С.124-126. С4528 к/х
    20. Лицис Н.А. Философское и научное значение идей Н.И.Лобачевского / Н.А.Лицис. - Рига, 1976. - 396 с. Г76-14673 к/х
    21. Лишевский В.П. Коперник геометрии / В.П.Лишевский // Наука в России. - 1996. - N 5. - С.57-60. но
    22. Лунц Г.Л. Аналитические работы Н.И.Лобачевского / Г.Л.Лунц // Успехи математических наук. - 1950. - Т.5. - N 1(35). - С.187-195. но
    23. Мантуров О.В. Николай Иванович Лобачевский (к двухсотлетию со дня рождения) / О.В.Мантуров // Успехи математических наук. - 1993. - Т.48. - N 2(290). - С.5-16. но
    24. Марков Н.В. Н.И.Лобачевский - великий русский ученый / Н.В.Марков. - М., 1956. - 55 с. 51-М272 к/х
    25. Медных А.Д. Математика: трехмерный мир, в котором мы не живем / А.Д.Медных // Наука из первых рук. - 2006. - N 2(8). - С.86-97. но
    26. Нагаева В. Педагогические идеи и деятельность Н.И.Лобачевского: автореферат дисс. … / В.Нагаева. - М., 1949. - 16 с. А-7091 к/х
    27. Натуральная математика: идеи Непера и Лобачевского в соврем. науке: (сборник) / [Под ред. Верещагина И.А.]. - Березники, 1995. - 174 с. - (Связь времен; вып.2). Г94-3436/N2 кх
    28. Норден А.П. Наследие Н.И.Лобачевского и деятельность казанских геометров / А.П.Норден, А.П.Широков // Успехи математических наук. - 1993. - Т.48. - N 2(290). - С.47-74. но
    29. О теорiи параллельныхъ линiй H.И.Лобачевскаго // Математический сборник. - 1868. - Т.3. - N 2. - С.78-120.
    30. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики = Non - Euclidean spaces and new problems in physics: сб. ст., посвящ. 200-летию Н.И.Лобачевского / Редсовет: Д.Д.Иваненко (пред.) и др. - М.: Белка, 1993. - 72 с. Г93-8771 кх4
    31. Понт Жан-Клод.Теория параллельных и неевклидова геометрия: эпистемологический вопрос в работе Н.И.Лобачевского / Жан-Клод Понт. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2003. - 47 с. Г2004-18691 В181/П567 чз1
    32. Празднование Казанским университетом столетия открытия неэвклидовой геометрии Н.И.Лобачевским, 24.11.1826-25.11.1926. - Казань. 1927. - 112 с. ДХ-4475 к/х
    33. Применение и развитие идей Лобачевского в современной физике = Application and development of Lobachevsky ideas in modern physics: тр. междунар. семинара, посвящ. 75-летию Н.А.Черникова, Дубна, 25-27 февр. 2004 г. - Дубна: ОИЯИ, 2004. - 206 с. Г2005-14051 В311/П764 чз1
    34. Рукавицын И.Н. Н.И.Лобачевский: к столетию открытия неевклидовой геометрии / И.Н.Рукавицын. - Иркутск, 1926. - 32 с. В86-956 к/х
    35. Северикова Н.М. Научный подвиг Н.И. Лобачевского / Н.М.Северикова // Исторические науки. - 2008. - N 2. - С. 85-89. Т3137 ч/з8
    36. Системная гиперкомплексная физика: Идеи Лобачевского в науке XXI в.: (сборник) / [Под ред. Верещагина И.А.]. - Березники, 1996. - 238 с. - (Связь времен; вып.3) В31-С409/3 но
    37. Сто двадцать пять лет неевклидовой геометрии Лобачевского. 1826-1951. Празднование Казанск. гос. ун-том им. В.И.Ульянова-Ленина и Казанским физ.-мат. общ-вом 125-летия открытия Н.И.Лобачевским неевклидовой геометрии. - М.-Л.,1952. - 208 с. 513-С81 к/х
    38. Хилькевич Э.К. Лекции по курсу "Основания геометрии.геометрия Лобачевского и опыт. Философское значение творчества Лобачевского" / Э.К.Хилькевич. - Тюмень, 1956. - 16 с. 513-Х458 к/х
    39. Чусов А.В. Об изменении онтологии понимания пространства в XIX веке / А.В.Чусов // Вестник Московского университета. Серия 7: Философия. - 2010. - N 4. - С.64-74. но
    40. Шестаков А. Леонард Эйлер и Н.И.Лобачевский / А.Шестаков, А.Кирюков // Леонард Эйлер - великий математик. - М.: МИКХиС, 2008. - С.138. Г2009-3643 В.д/Э322 ч/з1
    41. Юшкевич А.П. Н.И.Лобачевский. Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма (рецензия) / А.П.Юшкевич // Успехи математических наук. - 1978. - Т.33. - N 3(201). - C.217-221. но
    42. Яглом И.М. Принципы относительности Галилея и неевклидова геометрия: монография / И.М.Яглом. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 303 с. (проверено ноябрь 2018 г.) In memoriam N. I. Lobatschevskii (проверено ноябрь 2018 г.)

    LOBACHEVSKII, Nicolai Ivanovitch. "O nachalakh geometrii" , in: Kazanskii vestnik, Part XXVI (Feb. & Mar. 1829), Part XXV (April 1829), Part XXVII (Nov. & Dec. 1829); Part XXVIII (Mar. & Apr. 1830); Part XXVIII (July & Aug. 1830). Kazan: University Press, 1829-30. Извлечено самим Сочинителем из рассуждения под названием: «Exposition succinete des principles de la Geometrie etc.», читанного им в заседании Отделения физико-математических наук 11 февраля 1826 года. «Казанский Вестник, издаваемый при Императорском Казанском университете». 5 статей, помещенных в частях XXV, XXVII, XXVIII. Казань, печатано в университетской типографии, 1829-1830.

    1829: часть XXV, февраль-март, стр. 178-187, апрель, стр. 228-241; часть XXVII, ноябрь-декабрь, стр. 227-243, скл. табл. I, фиг. 1-9 геометрических диаграмм.

    1830: часть XXVIII, март-апрель, стр. 251-283, скл. табл. II, фиг. 10-17 геометрических диаграмм, июль-август, стр. 571-636.

    В некоторых библиографиях описан и 3-й складной лист геометрических диаграмм. Но при этом в самом тексте знаменитого труда Лобачевского описаны только те 17 фигур помещенных на 2-х складных таблицах. В п/к переплете эпохи с потертым тиснением на корешке. Издательские обложки к части XXV сохранены. Формат: 21х13 см. Редкость! PMM 293а.

    Библиографическое описание:

    1. PMM, №293а.

    2. The Haskell F. Norman library of science and medicine. Part III, Thursday 29 October 1998, Chistie’s, New York.

    3. Jeremy M. Norman and Diana H.Hook. The Haskell F. Norman library of science and medicine. San Francisco, 1991, 2 vols., №1379.

    4. Harrison D. Horblit. One hundred books famous in science. New York, 1964, №69а.

    5. M. Kline. Mathematical thought from Ancient to Modern Times. New York, 1972, p.p. 873-81.

    6. Биографический словарь деятелей естествознания и техники. Москва, 1959. Т. 1, стр. 524-527.

    7. Dictionary of scientific biography (famous DSB), vol. VIII, New York, 1973, p.p. 428-434.

    8. Болховитинов В., Буянов А., Захарченко В., Остроумов Г. Рассказы о русском первенстве. Под общей редакцией В. Орлова. Москва, изд. «Молодая Гвардия», типография Красное знамя, 1950, стр. 47-51.

    9. Люди русской науки. Очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники. Т.1, Москва-Ленинград, ОГИЗ, 1948, стр. 90-98.

    10. Творцы мировой науки от античности до XX века. Популярная биобиблиографическая энциклопедия. Москва, 2001, стр. 302-304.

    «Непреходящая слава Лобачевского в том, что он решил нам задачу, которая оставалась нерешенной две тысячи лет». С. Ли.

    Сочинение «О началах геометрии» было ещё напечатано в 1830 г. отдельным оттиском и в «Полном собрании сочинений по геометрии», изданном Казанским университетом в 1883 г. Т.1-2, in 4°, Т.1, стр. 1-67. В 1998 году на аукционе Christie’s в Нью-Йорке почти весь год распродавалась самая известная в мире библиотека по науке и медицине: «The Haskell F. Norman library of science and medicine». Под лотом №1174 там скрывался скромный конволют из 5-ти статей, надерганных из «Казанского Вестника» за 1829-30 годы. Поражает окончательная цена - огромная для того времени! За абы что такие деньги не платят… Издавна математика признавалась самой совершенной, самой точной из всех наук. А геометрия считалась венцом математики, как по незыблемости ее истин, так и по безукоризненности ее суждений. И вот русский ученый, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) создает новую геометрическую систему, которую он сам назвал «воображаемой». 14 декабря 1825 года лучшие представители русского общества поднялись на борьбу с крепостным правом и самодержавием. Весть о восстании громовым эхом прокатилась по всей империи, взбудоражила умы, нашла отклик в каждом честном сердце, надолго определила направление революционной мысли. Свою революционную конституцию - «Русскую правду» декабристы в целях конспирации называли «Логарифмами». Такую же революцию в геометрии готовил и профессор Лобачевский. В эти дни работалось с особенным упоением. Николай Иванович настойчиво готовил свое «восстание» в науке, свой небывалый переворот в математике, которому суждено преобразить лицо всего естествознания, стать поворотным пунктом в развитии точных наук. Вооруженный формулами, геометр возводил твердыню, крепость, и к февралю 1826 года труд был завершен. А в эвклидовом университетском «болоте» дела шли своим обычным, лишенным логики порядком. По иронии судьбы попечителя Магницкого записали в декабристы! Дескать, выступал против Императора Николая Павловича! Рассвирепевший Николай I приказал начать расследование по делу «бывшего попечителя Казанского учебного округа». К Магницкому приставили жандарма. Следствие вели генерал-лейтенант Желтухин и бывший ректор университета, некогда изгнанный Магницким, а ныне казанский губернский прокурор Гавриил Ильич Солнцев. Магницкий уже заранее был обречен. Особенно после того, как следователи обнаружили хищения больших казенных сумм... В архивах университета сохранился документ - сопроводительная записка Лобачевского к докладу, который он представил в физико-математическое отделение. Записка начиналась словами: «Препровождаю сочинение мое под названием «Сжатое изложение начал геометрии о параллельных линиях». Желаю знать мнение о сем ученых, моих сотоварищей». На документе дата - «7-го февраля 1826 г.», внизу - «Слущано 1826 г. 11 февраля». Итак, 11 февраля 1826 г. в Казани впервые в мире было публично доложено о рождении совершенно новой геометрии, получившей название неэвклидовой; ... Свыше двух тысяч лет в математике господствовала геометрия Эвклида. Но в этой геометрии есть так называемый пятый постулат о параллельных, равносильный утверждению, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым углам. Постулат этот не представлялся математикам столь очевидным, как другие, и они упорно пытались доказать его. Вот неполный список имен ученых, которые трудились над этой проблемой; Аристотель, Птолемей, Прокл, Лейбниц, Декарт, Ампер, Лагранж, Фурье, Бертран, Якоби. Печальный итог исканиям подвел Гаусс. Он писал: «В области математики найдется мало вещей, о которых было бы написано так много, как о проблеме в начале геометрии при обосновании теории параллельных линий. Редко проходит год, в течение которого не появилась бы новая попытка восполнить этот пробел. И все же, если мы хотим говорить честно и открыто, то нужно сказать, что, по существу, за 2000 лет мы не ушли в этом вопросе дальше, чем Эвклид. Такое откровенное и открытое признание, на наш взгляд, более соответствует достоинству науки, чем тщетные попытки скрыть этот пробел, восполнить который мы не в состоянии бессодержательным сплетением призрачных доказательств». Словом, стремление доказать пятый постулат сравнивают с исступленным желанием найти «философский камень» в средние века или с бесчисленными попытками создать «вечный двигатель». Геометров не устраивало «темное пятно» в «Началах» Эвклида, а решения не находилось. Анализируя причины, многочисленных неудач своих предшественников, Лобачевский пришел к выводу, что все попытки доказать пятый постулат обречены на неудачу. После длительных поисков русский ученый пришел к удивительному открытию: помимо геометрии Эвклида, существует другая, построенная на отрицании пятого постулата. Лобачевский назвал ее «воображаемой геометрией». Привычные геометрические представления, законы обычной геометрии здесь заменены новыми. В геометрии Лобачевского нет подобных фигур; сумма углов треугольника - меньше двух прямых, в ней существует зависимость между углами и длиной сторон треугольника, перпендикуляры к прямой - расходятся и т.д. А пятый постулат Эвклида о параллельных.заменен антипостулатом: через указанную точку можно провести множество прямых, не пересекающих данную. Этот день 11 февраля 1826 года ознаменовал начало новой эры в развитии мировой геометрической мысли, он стал днем рождения неэвклидовой геометрии. Присутствовавшие на заседании профессора слушали докладчика невнимательно. Их больше занимала история падения всемогущего Магницкого. Каждый дрожал за свое местечко, с тревогой ожидал вызова к грозному Желтухину и язвительному Солнцеву. Даже Никольский чувствовал себя причастным к декабрьскому восстанию и побаивался ареста, ссылки. Много курили. Всем казалось странным, нелепым, что в такое зыбкое, суматошное время можно еще заниматься какими-то постулатами.и теоремами, создавать новую геометрию, когда и старая-то может не пригодиться.

    За прегрешения наши... - бормотал коллега Никольский и опасливо косился на Николая Ивановича. В облике Лобачевского ему сейчас чудилось нечто сатанинское. Вот Николай Иванович остановился у доски, какая-то чужая, нездешняя улыбка пробрела по его губам. Свел острые изогнутые брови, надвинул шапку темно-русых волос почти на глаза, наклонил голову. Стоит, заслонив спиной чертеж, и, окидывая всех угрюмо-задумчивым взглядом, говорит:

    Главное заключение, к которому пришел я с предположением зависимости линий от углов, допускает существование геометрии более в обширном смысле, нежели как ее представил нам первый Заклад. В этом пространном виде дал я науке название Воображаемой Геометрии, где как частный случай входит употребительная геометрия с тем ограничением в общем положении, какого требуют измерения в самом деле... В чем же сущность, сокровенный смысл открытой Лобачевским неэвклидовой геометрии? Почему великий геометр назвал ее Воображаемой? Почему эвклидова геометрия является частным - вернее, предельным - случаем геометрии Лобачевского? Реальна ли геометрия Лобачевского в смысле соответствия физическому пространству, существует ли поверхность, на которой справедлива новая геометрия, или же она бесполезный плод фантазии, досужий вымысел, игра воображения, формальное доказательство независимости пятого постулата от других эвклидовых аксиом? Какая из двух геометрий с большей точностью описывает реальный мир? Шаг за шагом мы проследили, как Лобачевский подходил к открытию новой геометрии, проследили в той мере, в какой возможно рассказать о сокровенной, тончайшей работе гениального ума, где из хаоса мимолетных наблюдений на основе опыта и интуиции рождается небывалая истина, постепенно выкристаллизовывающаяся в виде четкой формулы. Первое значительное открытие Лобачевского состояло в доказательстве независимости пятого постулата геометрии Эвклида от других положений этой геометрии. Вторым открытием была уже сама логически непротиворечивая система новой геометрии. На свою геометрию он смотрел именно как на теорию, а не как на гипотезу. Придя к логическому заключению, что в мировом пространстве, а возможно и в. микрокосме, сумма углов треугольника должна быть меньше двух прямых, Лобачевский смело выдвинул свою исходную аксиому, свой постулат и построил необычную геометрию, так же, как и эвклидова, лишенную внутренних противоречий. Воображаемой назвал не потому, что считал ее формальным построением, а потому, что она пока оставалась доступной лишь воображению, а не опыту. Его не покидала мысль вновь вернуться к измерению космических треугольников и установить истину. Ничего не меняя в «абсолютной» геометрии, он лишь заменил пятый постулат антипостулатом, антиэвклидовой аксиомой: через указанную точку можно провести множество прямых, не пересекающих данную. На чертеже это выглядит так:

    Лобачевский изменил само понимание параллельных линий. У Эвклида непересекающиеся и параллельные - одно и то же, у Лобачевского: из всех, не пересекающих данную прямую АВ (см. чертеж), лишь две прямые называются параллельными - это К1РК. и LРL1. Все остальные, находящиеся в пучке между параллельными, таковыми не считаются (в современной литературе их называют сверхпараллельными). Поэтому постулат уточняется: если дана прямая АВ и не лежащая на ней точка Р, то через точку Р в плоскости АВР можно провести две прямые, параллельные данной прямой АВ. Параллельными Лобачевский, следовательно, называет такие, которые отделяют непересекающие от пересекающих данную прямую АВ. Расстояние между прямой АВ и каждой из параллельных не остается постоянным - уменьшается в сторону параллелизма и увеличивается в противоположную сторону. Параллельные прямые могут близко подойти друг к другу, но они не могут пересечься. Плоскость, в которой существуют такие параллельные, принято называть плоскостью Лобачевского. Эта плоскость вовсе не «плоская» в эвклидовом смысле.В эвклидовой плоскости угол параллельности неизменен и всегда равен 90°; в геометрии Лобачевского он может принимать все значения - от 0 до 90°. Следовательно, эвклидова геометрия есть частный (предельный) случай геометрии Лобачевского, в которой угол параллельности переменный. Геометрически величина угла параллельности зависит от длины X перпендикуляра РЕ; то есть если перпендикуляр уменьшается, угол параллельности увеличивается, постепенно приближаясь к 90°. Весьма условно на чертеже это можно было бы представить так:

    Другими словами: когда точка Р стремится к совпадению с точкой Е, то есть когда X стремится к нулю тогда угол параллельности стремится к 90°. Таким образом, в новой геометрии существует взаимозависимость угла и отрезка. Когда угол параллельности прямой, то есть равен 90°, взаимозависимость исчезает. В эвклидовой геометрии ее нет. В неэвклидовой она представляет наиболее значительный момент. Из этой взаимозависимости выводится основная формула всей геометрии Лобачевского. В формулу Лобачевский вводит так называемую линейную константу. В современной науке под линейной константой понимают радиус кривизны пространства Лобачевского; величина константы зависит от конкретных физических условий в данной части мирового пространства. Исключительно большая величина константы свидетельствует о том, что наше пространство обладает огромным радиусом кривизны и, следовательно, довольно малой, близкой к нулю, кривизной, то есть пространство в нашей части вселенной имеет плоский, эвклидов характер. Но если допустить, что линейная константа может иметь разные значения, то каждому из подобных значений будет соответствовать своя, особая геометрия. Следовательно, может иметь место безграничное количество разных геометрий. Для Канта пространство - неизменная сущность; для Лобачевского - оно форма существования материи. Пространство способно изменяться вместе с материей. Да, да, Лобачевский сотворил странную геометрию. Тут нет подобных фигур; сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых, причем по мере увеличения треугольника она стремится к нулю. Попробуйте представить себе треугольник, сумма углов которого равна ничему! А треугольников сколь угодно большой площади в этой удивительной геометрии вообще не может быть. Тут существует прямая зависимость между углами и длиной сторон треугольника, чего нет в эвклидовой. Тут отсутствуют прямоугольники. Иными являются и соотношения для окружности. Плоскость и пространство Лобачевского имеют постоянную отрицательную кривизну и т.д. «Ньютон - величайший гений и самый счастливый из всех, потому что система мира только одна и открыть ее можно было лишь однажды», - сказал Лагранж. Отказавшись от ньютоновой концепции пространства и времени, Лобачевский создал новый мир - грандиозный «мир Лобачевского», в котором привычный нам эвклидов мир является лишь предельным случаем, бесконечно малой областью пространства, где мы ползаем, подобно муравьям. Эта бесконечно малая часть пространства вмещает все наши радости, надежды, трагедии, наше прошлое и настоящее, весь смысл нашего существования.

    Нельзя не увлекаться мнением Лапласа, - звучал густой голос Лобачевского, - что видимые нами звезды принадлежат к одному только собранию небесных светил, подобно тем, которые усматриваем как слабо мерцающие пятна в созвездиях Ориона, Андромеды, Козерога и других. Итак, не говоря о том, что в воображении пространство может быть продолжено неограниченно, сама природа указывает нам такие расстояния, в сравнении с которыми исчезают за малостью даже и расстояния нашей земли до неподвижных звезд... Волосы шевелились на голове Никольского. Он украдкой крестился и все бормотал:

    За прегрешения наши, господи помилуй!..

    Ему чудилось, что Николай Иванович тонко издевается над всеми, умышленно несет несуразицу, а сам угрюмо посмеивается. Воображаемая!.. А чем в таком случае она лучше воображаемой геометрии Григория Борисовича, где гипотенуза есть символ сретения горнего с дольним? Нагородить можно, что хочешь... А попробуй возрази! Говорят, вместо Магницкого на пост попечителя назначают давнего дружка Лобачевского Мусина-Пушкина… Добра не жди. Вот и изгаляетея Николай Иванович в предвкушении полного торжества. Мусин-Пушкин свиреп. Никольского, как любимчика Михаила Леонтьевича (будь он проклят со своим мошенством!), первого к ногтю... «Человеки распинают...» Симонов почти не вникал в смысл доклада. Лицо Ивана Михайловича выражало откровенную скуку. Во время поездок за границу он познакомился с «королем математиков» Гауссом, встретился с Литтровом, у которого уже двенадцать детей. Жена Литтрова нюхает табак и курит трубку. «Вроде турка», - говорит Литтров. Видел Иван Михайлович и прославленных французов Лапласа, Лежандра, Коши. Теперь вот Лобачевский пытается тягаться со знаменитостями, и это вызывает жалость. Доклад Лобачевский представил на французском языке в надежде, что напечатают в ученых записках физико-математического отделения. Чего доброго, доклад дадут на отзыв ему, Симонову... Не токмо на французском, но и на русском все сие звучит дико, противоестественно. Метафизический вздор... Уж не зашел ли у Николая Ивановича ум за разум от трудов и бдений беспрестанных?.. Худ, бледен, глаза горят, как у голодного волка. В чем только душа держится... Мускулы и кожа головы необыкновенно подвижны, волосы то надвигаются на лицо, то скатываются на плечи. Припомнился недавний случай. Латинист профессор Альфонс Жобар шутя ударил Николая Ивановича кулаком в живот. Лобачевский задохнулся и едва не отдал богу душу. Никольский, разумеется, сразу же донес попечителю: «Недавно г. Лобачевского, больного, едва вставшего с постели, Жобар шутя ударил кулаком в брюхо так сильно, что у него подступило под ложку». За дурные выходки Жобара выслали из России. А Лобачевский пытался за него вступиться. Странный человек!.. Когда докладчик умолк, Григорий Борисович откровенно и широко перекрестился. Аминь! Лобачевский попросил профессоров высказать свое суждение о новой геометрии. Повисло гнетущее молчание. Сидели, опустив головы, боялись встречаться взглядами с Николаем Ивановичем. Во времена Кардано, в XVI веке, устраивались турниры математиков, судьями становились наиболее знатные и просвещенные особы. Победители получали большие денежные награды. Потому-то решение всякой замысловатой задачи математики хранили в строжайшей тайне. Каждый такой диспут становился событием. Математические тайны хранят и в новое время. Начертательная геометрия Гаспара Монжа, которого Лагранж назвал «дьяволом геометрии», была объявлена военной тайной. У Лобачевского нет профессиональных тайн. Наоборот, он хочет, чтобы его открытие поняли все, оценили по достоинству. Но зря, видно, метал бисер. Профессора как воды в рот набрали. Наконец Никольский предлагает профессорам Симонову, Купферу и адъюнкту Брашману рассмотреть сочинение Лобачевского и мнение свое сообщить отдельно. Симонов рассеянно берет «Сжатое изложение начал», свертывает в трубочку, сует в карман. То ли на улице, то ли в другом месте рукопись вывалилась из кармана. Иван Михайлович так ее и не хватился. «Сжатое изложение Начал» считается безвозвратно утерянным. Увлеченный мыслями о женитьбе, о конце карьеры Магницкого, о назначениях, которые будут при новом попечителе, Симонов начисто забыл и доклад Лобачевского и поручение ученого совета. Он не придал докладу ровно никакого значения. Мало ли читают всякой чепухи на заседаниях ученого совета! Значение для науки имеют лишь доклады знаменитого астронома Симонова. Иван Михайлович не признавал никаких фантазий, ничего воображаемого. Не сделав ровным счетом ничего для процветания университета, он повсюду выдвигал себя на первый план, с нетерпением ждал выборов нового ректора и не сомневался, что ректором будет он. Первую рукопись Лобачевского, «Геометрия», уте-рял Магницкий. Вторую рукопись, «Алгебра», утерял Никольский. Так же безмолвно погибла и последняя рукопись. И все же открытие новой эры в истории математической мысли состоялось! Ну, а Михаил Леонтьевич Магницкий? Его сослали в Ревель. Держались трескучие морозы, а шубы у Магницкого не оказалось. Прокурор Солнцев отдал ему свою. Встретились давние приятели: Лобачевский и Мусин-Пушкин. Михаила Николаевича назначили попечителем Казанского учебного округа. За последние годы он раздался вширь, обвешался крестами и медалями. Многие годы Мусин-Пушкин провел в казацких полках, участвовал в Отечественной войне, привык к суровой дисциплине и категоричности. Современники описывают его внешность так: «Вид его был свирепый: густые, нахмуренные брови, крючком выдающийся нос и угловатый подбородок обозначали некоторую силу характера и упрямство». Характер Михаила Николаевича в самом деле не отличался мягкостью. Испытанный служака любил порядок и повиновение, был несколько деспотичен, но в то же время честен и справедлив. Два последних качества он особенно ценил и в других. На первом же танцевальном вечере в Дворянском собрании Михаил Николаевич поинтересовался у Никольского, почему здесь не бывает студентов, и приказал привести нескольких человек. Никольский привел троих, самых смелых. Войдя в танцевальную залу, студенты стали креститься на образа и отвешивать поклоны. Мусин-Пушкин обругал их дураками и выгнал вон. Потом Михаил Николаевич пожелал послушать, как читаются в университете лекции. Зашел на урок адъюнкта философии и российской словесности Хламова. Адъюнкт читал вяло, и Мусин-Пушкин заснул. Заметив это, Хламов приостановился. «Ты что же, братец, не продолжаешь?» - спросил попечитель, встрепенувшись от тишины. «Боялся обеспокоить ваше превосходительство». - «Ну и хороши же, должно быть, твои лекции! - укоризненно заметил Мусин-Пушкин. - Стану страдать от бессонницы, обязательно наведаюсь к тебе. Ужо убаюкаешь...» - «Так точно, ваше превосходительство!» Человек простой, естественный, малообразованный, Мусин-Пушкин с большим уважением относился к людям науки и не терпел ханжества. Он был хорошо осведомлен о всех трудах и поведении Лобачевского. Прямой, решительный и самостоятельный Лобачевский ему нравился. Собрав профессоров, Мусин-Пушкин сказал: - Должность директора отныне упраздняется. Ректором предлагаю избрать Николая Ивановича Лобачевского! У кого есть другое мнение, пусть выскажется. Своего мнения выразить никто не пожелал. Даже Симонов. Он надеялся, что при тайном голосовании Лобачевского прокатят, а изберут его, знаменитого астронома Симонова. К удивлению Ивана Михайловича, Лобачевский от ректорства наотрез отказался. Мусин-Пушкин не рассердился. Он принялся уговаривать строптивого профессора, проводил с ним вечера, ездил на охоту, терпеливо объяснял, что Николай Иванович единственный, кто сможет поставить университет. Симонов слишком занят своей особой, своей славой, к тому же ленив, капризен, кичится высокими знакомствами. Впрочем, голосование покажет. Он, как попечитель, предоставит ректору полную свободу действий. Слово «свобода» всегда производило на Николая Ивановича неотразимое действие - он согласился. Состоялись выборы. 3 мая 1827 года тридцатичетырехлетний Лобачевский стал ректором Казанского университета. Симонов был уязвлен. Он просто отказывался понимать профессоров, которые на словах льстили ему, прочили еще большую славу в науке, а когда дело дошло до избрания, предпочли другого. Лобачевского избрали одиннадцатью голосами против трех. Мусин-Пушкин уехал в Петербург, и Лобачевский сделался полновластным хозяином в университете. Только теперь он понял, какую ношу взвалил на себя. Ректор избирался на три года. Но Лобачевскому суждено было оставаться ректором целых девятнадцать лет! Английский геометр Клиффорд назвал Лобачевского Коперником геометрии. Подобно тому как Коперник разрушил вековечный догмат о неподвижности Земли, так и Лобачевский разрушил заблуждение о неподвижности единственно мыслимой геометрии. Еще более высокую оценку подвигу русского математика дал советский ученый В. Каган. Он писал: «Я беру на себя смелость утверждать, что легче было двинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение». ... Как мы уже видели, свои сокровенные мысли о новой геометрии и доложил «сотоварищам» Лобачевский. Но мир не содрогнулся, не пришел в удивление, не восхитился. Доклад слушали невнимательно, никакого обсуждения не было; собравшиеся ничего не поняли. Более того, слушатели - а им посчастливилось узнать о рождении новой науки из уст ее первооткрывателя - не сделали даже попытки что-либо понять. А ведь речь шла о необычайном, почти фантастическом строении мира. Решили, что это бредни, лишенные всякого смысла. Для проформы трем профессорам было поручено изучить доклад, чтобы определить его значение. Комиссия не дала никакого отзыва, а само сочинение- первый в мире документ неэвклидовой геометрии- было утрачено и не найдено до сих пор. С этого момента и до конца своей жизни Лобачевский у себя на родине не встречал понимания. Все его работы подвергались резкой критике, насмешке и издевательствам. В России он так навсегда и остался непризнанным ученым, «выживающим из ума чудаком», «известным казанским сумасшедшим». И несмотря на это, всю свою жизнь Лобачевский неустанно совершенствовал «воображаемую геометрию». Уже в 1829-30 г. г. Николай Иванович свои новые замечательные идеи - сложные и неожиданные - изложил в печати. В журнале «Казанский вестник» появился его мемуар «О началах геометрии». Около трети этой работы, как отмечал Лобачевский, «извлечено сочинителем из рассуждения», читанного в заседании отделения 11 февраля 1826 г. Мемуар был изложен чрезвычайно сжато, конспективно, поэтому понять сущность новых идей было нелегко. И сочинение не только не нашло признания, но было встречено с нескрываемой иронией. Секретарь Академии Фусс (сын академика Фусса) передал мемуар Остроградскому. Михаил Васильевич Остроградский уже сделался первой математической величиной, ординарным академиком. Его математическая звезда пылала ослепительным светом. Все поняли и в отечестве и за границей: в науку пришел гений- Остроградский! Ему суждено стать основоположником аналитической механики, одним из создателей русской математической школы. Его выдающиеся заслуги будут признаны всем ученым миром. Он испьет чашу славы до конца еще при жизни. Его назовут «корифеем механики и математики». Член Американской, Туринской, Римской, Парижской академий... Все высшие учебные заведения будут считать большой честью заручить его к себе в профессора. Слова «Становись Остроградским!» сделаются девизом молодежи. Когда Михаилу Васильевичу положили на стол мемуар Лобачевского, математик содрогнулся.

    Опять Лобачевский!

    Дело в том, что в Петербурге проживал еще один математик Лобачевский, дальний родственник Николая Ивановича. Этот петербургский Лобачевский, Иван Васильевич, был одержим идеей о квадратуре круга и надоедал Остроградскому. В столе у Остроградского лежала работа Ивана Васильевича «Геометрическая программа, содержащая ключ к квадратуре неравных луночек (3:4) (1:4) и сегмента в составе полуразности оных находящегося». Развернув мемуар «О началах геометрии» казанского Лобачевского, Остроградский ужаснулся. Что за бред?! Этому Лобачевскому мало квадратуры круга, теперь он занялся теорией параллельных! Изобрел новую геометрию - воображаемую!.. Тяжело иметь дело с сумасшедшими... Михаил Васильевич написал размашисто: «Сей Лобачевский недурной математик, но если надобно показать ухо, то он показывает его сзади, а не спереди». Фусс любезно объяснил академику Остроградскому, что этот Лобачевский вовсе не тот Лобачевский, а ректор Казанского университета.

    Тогда другое дело, - сказал Михаил Васильевич и написал:

    «Автор, по-видимому, задался целью написать таким образом, чтобы его нельзя, было понять. Он достиг этой цели: большая часть книги осталась столь же неизвестной для меня, как если бы я никогда не видел ее...» Гениальности Остроградского не хватило на то, чтобы разобраться в открытии казанского геометра. Мемуар «О началах геометрии» вызвал у Михаила Васильевича приступ злобы. И подобный человек занимает место ректора!.. Разоблачить! Дабы своими химерами не развращал молодежь... Приняв такое решение, Остроградский сделался на всю жизнь тайным заклятым врагом Лобачевского. Даже десять лет спустя, когда Михаилу Васильевичу вновь дадут на отзыв новую работу Лобачевского, он скажет:

    «Можно превзойти самого себя и прочесть плохо средактированный мемуар, если затрата времени искупится познанием новых истин, но более тяжело расшифровывать рукопись, которая их не содержит и которая трудна не возвышенностью идей, а причудливым оборотом предложений, недостатками в ходе рассуждений и нарочито применяемыми странностями. Эта последняя черта присуща рукописи господина Лобачевского... Нам кажется, что мемуар господина Лобачевского о сходимости рядов не заслуживает одобрения Академии».

    Здесь все поставлено с ног на голову. Возвышенность идей, новые истины, безукоризненный ход рассуждений... Не зависть, а откровенное непонимание - вот что это было такое! Даже когда Лобачевский, разыскав в пыльных шкафах рукопись своего учебника «Алгебра», наконец, опубликовал его, Остроградский, перелистав учебник, воскликнул: «Гора родила мышь!» А Николай Иванович так и не узнал ничего: секретарь Фусс не захотел огорчать ректора Казанского университета, к которому благоволит сам царь,- отзыва на свои работы Николай Иванович не дождался. Что ж... Не привыкать! Остроградский решил раздеть Лобачевского «догола», скомпрометировать перед общественностью. Сама мысль, что воспитанием молодежи руководит маньяк, была Остроградскому невыносима. Он вызвал двух проходимцев, которых, по недоразумению считал своими друзьями, - С.А. Бурачека и С.И. Зеленого. Бурачек и Зеленый преподавали в офицерских классах Морского кадетского корпуса, где читал лекции также и Остроградский. Кроме того, Бурачек значился сотрудником журнала «Сын отечества». Редакторы этого журнала Греч и Булгарин были тесно связаны с Третьим отделением, и всякая рецензия в «Сыне отечества» рассматривалась как политический донос. Остроградский решил «выдать с головой» Лобачевского Гречу и Булгарину. Царь, во всяком случае, журнал читает, обратит внимание, кому доверено руководство Казанским университетом.

    Пишите! - коротко приказал Остроградский. Вскоре и в печати появился резкий памфлет на сочинение казанского геометра. В 1834 г. в журнале «Сын Отечества» увидела свет анонимная статья: «О началах геометрии, соч. г. Лобачевского». Как-то в кабинет ректора заглянул Симонов, положил на стол два журнала - «Сын отечества» и «Северный архив».

    Тут тебя поминают...

    Лобачевский открыл старательно заложенную Симоновым страницу - и не поверил глазам: «Есть люди, которые, прочитав иногда одну книгу, говорят: она слишком проста, слишком обыкновенна, в ней не о чем и подумать. Таким любителям думанья советую прочесть геометрию Лобачевского. Вот уж подлинно есть о чем подумать. Многие из первоклассных наших математиков (намек на Остроградского!) читали ее, думали и ничего не поняли... Даже трудно было бы понять и то, каким образом г. Лобачевский из самой легкой и самой ясной в математике, какова геометрия, мог сделать такое тяжелое, такое темное и непроницаемое учение, если бы сам он отчасти не надоумил нас, сказав, что его Геометрия отлична, от употребительной, которой все мы учились и которой, вероятно, уже разучиться не можем, а есть только воображаемая. Да, теперь все очень понятно. Чего не может представить воображение, особливо живое и вместе уродливое! Почему не вообразить, например, черное - белым, круглое - четырехугольным, сумма всех углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых и один и тот же определенный интеграл равным то π/4, то ∞? Очень, очень можно, хотя для разума все это и непонятно. Но спросят: для чего же писать, да еще и печатать такие нелепые фантазии? Признаюсь, на этот вопрос отвечать трудно... При том же, да позволено нам будет несколько коснуться личности. Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьезной целью книгу, которая немного принесла бы чести и последнему приходскому учителю? Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой Геометрии нередко недостает и сего последнего. Соображая все сие, с большой вероятностью заключаю, что истинная цель, для которой г. Лобачевский сочинил и издал свою Геометрию, есть просто шутка, или, лучше, сатира на ученых математиков, а может быть, и вообще на ученых сочинителей настоящего времени... Хвала г.Лобачевскому, принявшему на себя труд объяснить, с одной стороны, наглость и бесстыдство ложных новоизобретателей, а с другой стороны, простодушное невежество почитателей их новоизобретений. Но, сознавая всю цену сочинения г. Лобачевского, я не могу, однако ж, не пенять ему за то, что он, не дав своей книге надлежащего заглавия, заставил нас долго думать понапрасну. Почему бы вместо заглавия «О началах геометрии» не написать, например, сатира на геометрию, карикатура на геометрию или что-нибудь подобное?.. Теперь же я думаю и даже уверен, что почтенный автор почтет себе весьма мне обязанным за то, что я показал истинную точку зрения, с которой должно смотреть на его сочинение. С. С.». Авторы трусливо скрыли свои фамилии, подписавшись инициалами «С. С.». Булгарин и Греч не пожалели в своих журналах места на пасквильную рецензию: получилась весьма объемная статья с большими выдержками из мемуара «О началах геометрии». Лобачевский долго сидел в горестной задумчивости. Булгарину и Гречу есть дело до всего: не только до литературы, но и до геометрии. Кто бы ни скрывался под псевдонимом «С. С.», чувствуется, что этот человек внимательно прочитал мемуар. Но почему такая дикая злоба? Кто он? Математик - то несомненно. Почему не захотел понять? Или просто не пожелал принять... Ясно одно: главная цель «С. С.» - повлиять на публику, принизить, осмеять казанского геометра, выставить его чуть ли не сумасшедшим. Ему почему-то пришли на ум слова Ньютона: «Гений есть терпение мысли, сосредоточенной в известном направлении». Терпение мысли... Когда Даламбер в юности спросил у своей тетушки, что такое философ, она ответила: «Сумасшедший, который терзает себя всю жизнь лишь для того, чтобы о нем говорили после смерти». Тетушка была мудра. Сделать открытие, оказывается, мало. Нужно еще пробить ему дорогу в умы людей. Отступаться нельзя. Почему эти люди не хотят понять простой истины: если даже действительный случай - эвклидова геометрия - содержится как частный случай (пусть умозрительно) в более общем случае - новой геометрии, - то выгоднее все-таки изучать последний, хотя бы некоторые комбинации оказались никогда не применяемыми? Очень вероятно, что эвклидовы положения одни только истинные, хотя и останутся навсегда недоказанными. Как бы то ни было, новая геометрия, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении и, оставаясь без употребления для измерения на самом деле, открывает новое обширное поле для взаимных применений геометрии и аналитики. Почему в таком случае не подвергает осмеянию предложение Остроградского, согласно которому символ, обозначающий решение уравнения любой степени, должен быть рассматриваем как вполне явная функция, над которой мы можем совершать любые действия? Почему «радикалисты» не поднимают вой? Ответ издателям написан, отослан. Но напрасно Лобачевский трудился: «братья-разбойники» Булгарин и Греч только посмеялись над бессильным негодованием казанского геометра. Его ответ они бросили в корзину. Когда Мусин-Пушкин прочитал пасквиль в «Сыне отечества», то пришел в ярость и немедленно обратился к Министру народного просвещения Уварову, сменившему Шишкова. «В 41-й книжке «Сына отечества» помещена критика на сочинение г. Лобачевского. Не касаясь достоинства самого сочинения, которое может и должно быть разбираемо, как и всякое другое, мне кажется, однако, что г. рецензент не должен был касаться личностей; то ставить сочинителя ниже приходского учителя, то называть сочинение его сатирою на геометрию и пр. ... Нет ли здесь другой, скрытой цели? Унизить ученого, более двадцати лет служащего с честию, обнародовавшего много весьма хороших учебников и занимающего с пользой для университета восьмой год почетную и многотрудную обязанность...» Но Уваров вовсе не намерен ссориться с Булгариным и Гречем. Это был тот самый Уваров, который сделал своим девизом слова: «Самодержавие, православие, народность». Ссориться с Мусиным-Пушкиным ему тоже не хочется. «На вышеупомянутые выражения обратил я внимание цензуры и приказал издателю журнала поместить в оном возражения на критику, какие сделает сочинитель Геометрии». Однако опровержение Лобачевского так и не было опубликовано. Лобачевскому исполнилось 40 лет. Он решает резко изменить свою судьбу и 13 октября 1832 года женится по любви на молоденькой Варваре Алексеевне Моисеевой. Если Ньютон не оставил роду человеческому ни одного отпрыска, то у Лобачевского их целых пятеро; сыновья Алексей, Николай; дочери Надежда, Варвара, Софья. В этом отношении ему суждено превзойти всех великих геометров, вместе взятых; за двадцать четыре года супружеской жизни у Николая Ивановича и Варвары Алексеевны родится пятнадцать детей! Дом большой, по-провинциальному уютный, просторный и важный. Здесь жена, дети, мать Прасковья Александровна. Лобачевский снимает мундир, накидывает халат и сразу превращается в доброго семьянина. Расходятся сурово сдвинутые брови, теплеют глаза. За синеватыми узорами стекол - вечер, сыпучие сугробы, малиновый перезвон бубенцов. Дети сидят за столом настороженно и тихо, с круглыми глазами. Ждут сказок. В который уж раз приходится читать «Руслана и Людмилу» - самая интересная. Потом - басни Крылова, «Вечера на хуторе близ Диканьки» Гоголя, романы Вальтера Скотта. Николай Иванович любит шутку, смех. Иногда сочиняет сказки сам: про Иванушку-дурачка, который поступил в Казанский университет, выучился на царевича и женился на прекрасной принцессе. Хохочет так заразительно, что все хватаются за животы. Свою молодую жену он боготворит. Она ревнует его ко всем и ко всему: и к Мусину-Пушкину, и к жене попечителя Александре Семеновне, к университетским товарищам, ж службе, к вечным делам и заботам. Особенно не выносит, когда он запирается в кабинете и при свете двух свечей до утра что-то пишет. К лампам у него отвращение. Признает только свечи. Почерк бисерный, аккуратный. Он аккуратен во всем, даже в мелочах. Каждый карандаш, каждое перо заворачивает в бумагу. Вся его жизнь рассчитана по минутам - даже дома. И это утомляет Варвару Алексеевну. Встает рано, в семь часов, в восемь пьет чай, после обеда никогда не отдыхает, а ходит и ходит по комнатам, заложив руки назад, курит свою трубку или же сигару. К спиртному относится равнодушно. Изредка, ради гостей, выпьет рюмку мадеры или хереса. Он хлебосолен, любит поесть, сам заказывает повару свои любимые блюда, растолковывает, сколько и чего положить в каждое кушанье; и чтобы обязательно все было на миндальном молоке и прованском масле. Да, у него маниакальная тяга к труду, да у него имеются свои маленькие причуды и закидоны. А у кого их нет? Молодой жене скучно в пустынном трехэтажном доме. Она любит блеск огней и нарядов, ухаживания, поклонение. Приходится бросать «Новые начала Геометрии с полной теорией параллельных», ехать в театр, маскарад, на балы к губернатору или в Дворянское собрание. Да и в самом доме Лобачевских, который считается аристократическим, редко обходится без гостей. Женившись, Николай Иванович обзавелся кучей родственников. Они по всем линиям: и по линии Великопольских, и по линии Моисеевых, и по линии Мусиных-Пушкиных. Сестра жены Прасковья Ермолаевна Великопольская замужем за фабрикантом Осокиным, фабрику которого арендует Алексей Лобачевский. Один из братьев Варвары Алексеевны - дипломат, драгоман в Персии. Всех приходится принимать, массу времени занимают ответные визиты. Мусин-Пушкин - завзятый охотник и рыболов, каждый раз он зовет Николая Ивановича в Бездну. Все родственники называют Лобачевского «букой», «человеком не нонешнего света». И в самом деле, странно выглядит этот суровый человек, занятый думами о неземной геометрии, на фоне шумного казанского общества. Он как житель иной планеты, случайно занесенный космическими бурями сюда, в провинциальный город, где даже самые закоренелые аристократы и вольтерьянцы отлично разбираются в ценах на сало, рыбу, скот, где проигрывать в карты целые имения, беспробудно кутить считается высшей доблестью, где каждого ценят не по уму, а по чинам. Для всех, даже для жены, Лобачевский всего лишь высокопоставленный чиновник, глава университета, статский советник, кавалер орденов св. Владимира 4-й степени, св. Станислава 3-й степени, св. Анны 2-й степени. Он пожалован знаками отличия беспорочной службы за двадцать пять лет, награжден полным пенсионом - две тысячи рублей в год. Сам Царь наградил его бриллиантовым перстнем, а Министр просвещения осыпал благодарностями. Почему же его называют «человеком не нонешнего света»? Его просто не понимают, не могут понять. По существующим правилам уже Владимирский крест дает право на дворянство. Потому-то все в недоумении: почему Николай Иванович не хлопочет о восстановлении его в правах потомственного дворянина? Разве не все из чиновного люда стремятся выбиться в дворяне? Симонов вон давно ходит в дворянах... От родственников не так-то просто отмахнуться. Некоторые искушены в истории науки. Сын бедного фермера Ньютон не отказался от дворянского звания и титула рыцаря; сын нормандского крестьянина Лаплас стал графом. А разве Гаспар Монж не сделался благодаря своей службе графом? Говорят, Гумбольдт сам присвоил себе звание барона. Или, может быть, великий Михайла Ломоносов не получал от Царицы в дар поместье для устройства стекольной фабрики?.. Лобачевский угрюмо отмалчивается. Как объяснить всем им, что сейчас некогда хлопотать о дворянстве; в разгаре работа над «Новыми началами», что куда важнее чинов и званий?.. Труднее совладать с женой. Сразу начинаются истерики.

    Подумай о будущности детей! - кричит она. - Твои дети должны значиться дворянами, чтобы после твоей смерти никто не смел помыкать ими. Характер у Варвары Алексеевны тяжеловатый. Ничего не поделаешь: печень! Крепкая с виду, Варвара Алексеевна на самом деле отличается весьма хрупким здоровьем. У нее множество всяческих недугов. Даже врачи бессильно опускают руки. «Моя жена слабого от природы сложения, - пишет Николай Иванович Великопольскому, - испытала припадки женской болезни, потом присоединилась лихорадка, расстройство печени, вновь болезнь матки, наконец еще лихорадка. Сложность недуга в хилом теле ее привела врачей в тупик».

    С ней лучше не вступать в спор - все равно настоит на своем. И только когда истерика проходит, он, спокойно покуривая трубку, кратко и внушительно указывает жене на неблагоразумность ее речей. Гости, гости... без конца гости! Дрожат потолки и стены трехэтажного дома. Николай Иванович отсиживается в кабинете, прикрыв уши ладонями. В зале верховодит Варвара Алексеевна. Мигом забыты болезни. Варвара Алексеевна - гостеприимная хозяйка. Улыбка не сходит с ее губ. Ее страсть - картежная игра. В карты дуются до рассвета. Входит Николай Иванович, с тревогой поглядывает на жену: лицо её искажено гримасой, глаза горячечно блестят, пальцы дрожат. Играть в карты научилась у братца своего Ивана Великопольского. Когда в Казань приезжает Иван Ермолаевич, дом Лобачевских превращается в салон игроков. Лобачевский в карты не играет, игроки вызывают у него чувство омерзения. То ли дело шахматы! Если уж никак нельзя бросить гостей на произвол судьбы, лучше сразиться в шахматы, чем прикупать к пятерке. Теория шахматной игры сродни математике. Возможно, когда-нибудь эта теория станет исходным пунктом для сложной геометрической или иной системы; игра превратится в мощный метод познания. Ведь и теория вероятностей родилась из игры в кости... В кабинете Лобачевского - ничего лишнего. Стол, кресло, книги, рукописи. Здесь отсутствует уют. Фукс привил интерес к коллекционированию жуков и бабочек, к собиранию гербариев и минералов. Коллекции на столе, под столом, на стенах. Кабинет напоминает лабораторию. Ректор отправляет экспедиции в Сибирь, в азиатские страны, в Персию, Месопотамию, Сирию, Египет, Турцию, и оттуда привозят в подарок разные диковинки. В университете целая группа востоковедов: Казембек, Березин, Сивиллов, Василий Васильев, Осип Ковалевский - профессор монгольской словесности. Ковалевский сослан в Казань за принадлежность к тайному обществу. За ним особый надзор. Мирза Казембек Александр Касимович, профессор по кафедре турецко-татарского языка, - ближайший друг Николая Ивановича. С ним-то они и сражаются в шахматы. Так уж заведено между ними: Лобачевский спрашивает по-татарски, Казембек отвечает по-турецки или по-французски. Практика, доставляющая много веселых минут. Одно из своих первых сочинений «О взятии Астрахани в 1660 году» Казембек посвятил Лобачевскому. Иногда Александр Касимович читает что-нибудь из «Шах-наме» великого Фирдоуси. Читает на персидском. Николай Иванович внимательно вслушивается в чужую речь и думает о нетленности, человеческой мысли. С Казембеком намного интереснее, чем со всем казанским дворянским обществом. В 1835 году по инициативе Лобачевского начинают выходить «Ученые записки Казанского университета». Здесь в первом же томе Николай Иванович печатает свою «Воображаемую геометрию» и ответ критикам из «Сына отечества». «В одном из номеров журнала «Сын отечества» за 1834 год была напечатана критика, весьма оскорбительная для меня и, надеюсь, совершенно несправедливая. Рецензент основал свой отзыв на том только, что он моей теории не понял и почитает ее ошибочной, потому что в примерах встречает один нелепый интеграл. Впрочем, такого интеграла не нахожу я в моем сочинении. В ноябре месяце прошедшего года послал я к издателю ответ, который, однако ж, не знаю почему, до сих пор, в продолжение пяти месяцев, еще не напечатан». На университетском дворе после строительства остались каменные плиты; они улеглись здесь на века. Одна из плит треснула: в щель высунулся нежно-зеленый росток. Это он, такой беззащитный на вид, расколол многопудовую плиту и полез, полез вверх, к солнцу... - Воображаемая геометрия... - сказал ректор и устало улыбнулся. Он свято верит, что с открытием «воображемой геометрии» кончилась монополия геометрии Евклида, которая в течение двадцати с лишним веков считалась единственно возможной. Лобачевский показал, что геометрия Евклида является частным случаем «воображаемой» геометрии, открытой им. С открытием неевклидовой геометрии закончились бесплодные попытки доказательства пятого постулата Евклида, проблемы, над которой две тысячи лет бились математики. Впоследствии Лобачевский называл свою геометрию «пангеометрией» (всеобщей геометрией). Выявить, какая из геометрий осуществляется в реальном физическом пространстве, мог только научный опыт. Работа Лобачевского получила отрицательную оценку Академии наук. Несмотря на непонимание ученых и критику в печати, ученый продолжал отстаивать свои взгляды. Он издал целый ряд трудов - «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836), «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1835-38). В 1840 г. в Германии вышла книга Лобачевского «Геометрические исследования» на немецком языке. Карл Гаусс, пришедший к неевклидовой геометрии независимо от Лобачевского, был восхищен его сочинением и предложил избрать его за научные заслуги членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества. Это произошло в 1842 г. Сам Гаусс, открыв неевклидову геометрию, не стал публиковать результатов, боясь непонимания. В отличие от него венгерский математик Я. Бойяи в своей работе «Аппендикс» («Приложение»), вышедшей в 1832 г. (отдельные оттиски появились в 1831), дал сжатое изложение основ новой геометрии. Когда Гаусс написал ему, что сам давно пришел к этой системе геометрии, Бойяи решил, что он хочет присвоить себе приоритет открытия. Позднее, познакомившись с работами Лобачевского и узнав, что первая публикация появилась на два года ранее «Аппендикса», Бойяи сначала решил, что под псевдонимом Лобачевского скрывается Гаусс. Однако изучив текст, он увидел оригинальность работы и отказался от дальнейших исследований по неевклидовой геометрии. Только Лобачевский до конца жизни вел борьбу за свои идеи. Лобачевский получил важные результаты и в других разделах математики - алгебре (метод Лобачевского), в математическом анализе и т.д. И вот в Казани суматоха: сюда едет сам царь! Мусин-Пушкин буквально звереет. Ему кажется, что не все проявляют должное рвение. Чистота, порядок... Михаил Николаевич появляется со своим батистовым платочком то в новом здании клиники, то в библиотеке, то. в лабораториях и кабинетах, то в обсерватории. Цари почему-то прежде всего торопятся в отхожее место. Здесь - ни соринки. Во всех корпусах красное дерево, лак, паркеты, стекло. Да, да, лучший в Империи!.. Михаил Николаевич невольно любуется стройным архитектурным ансамблем, созданным всего за каких-нибудь пять лет. Лобачевский даже. ухитрился сэкономить пятьдесят тысяч рублей. Деньги немалые. Коринфский, конечно, талантливый архитектор, но.у него нет такого размаха, как у Лобачевского. Самостоятельно изучил архитектуру - и вот побил всех. Даже в Петербурге и Москве. Мусин-Пушкин смотрит на геометра, как на некое чудо. Откуда у человека столько талантов? Зачем так много одному? Царь должен оценить... Николая I сопровождают шеф жандармов Бенкендорф и комендант Петропавловской крепости Скобелев. Царь осматривает университет рассеянно. Ему не терпится попасть в отхожее место. Но церемония даже для царей имеет силу закона. Наконец-то все закончено! Николай вытирает платком вспотевший лоб. И пока царь пребывает в нужнике, шеф жандармов и комендант Петропавловской крепости стоят у двери навытяжку. В университет Николай I пожаловал не случайно. Не так давно был опубликован новый устав русских университетов. Устав давал более широкие полномочия попечителю и ректору, демократия урезывалась. Но главная задача реформы заключалась в том, чтобы усилить роль дворянства в управлении страной, затруднить доступ в высшие учебные заведения выходцам из народа, «привлечь в университет детей высшего класса в Империи и положить конец превратному воспитанию их иностранцами». Царь хотел собственными глазами увидеть, как выполняются его повеления начальством Казанского университета. Самодержец был неприятно удивлен, узнав, что ректор здешнего университета не дворянин. Окинув Николая Ивановича холодным взглядом бесцветных глаз, сказал:

    Ты, Лобачевский, все еще ходишь в статских? И все еще не в дворянах. Труды твои нам известны. Зачем дело стало? Представить в действительные! И закрутилось колесо... «Признавая вышеозначенные доказательства потомственного дворянства статского советника Николая Иванова Лобачевского достаточными и с силою законов согласными, Казанское дворянское депутатское собрание определяет внесть его, Лобачевского, и сыновей его Алексея и Николая в третью часть дворянской родословной книги». Вручили диплом на потомственное дворянское достоинство, «жалованную грамоту» от царя на пергаменте и дворянский герб. «А известно нам, что наш верноподданный статский советник Николай Лобачевский по окончании курса наук в Казанском университете нашем и по удостоении в 1811-м году августа 3-го звания магистра, в службу нашу вступил в 1814-м марту 26-го адъюнктом физико-математических наук...» Дворянский герб вызвал у геометра конвульсивный припадок смеха. До этого не приходилось видеть, что из себя представляет герб. Думал: что-нибудь наподобие грамоты или ордена. А внесли в дом огромный щит. Сразу пахнуло средневековьем, рыцарскими временами. Герб оформлен не без намеков. В верхнем красном поле - пчела, символ трудолюбия, и шестиконечная золотая звезда, составленная из двух треугольников; в нижнем голубом - подкова счастья и летящая стрела.

    Так-то лучше! - сказал Мусин-Пушкин.

    Был сын бедного чиновника, умершего от чахотки, Коля Лобачевский. Не думал о почестях, званиях. Старался избегать административных докук. В глубинах мозга шла скрытая работа, поднявшая его над эвклидовым миром, над галактиками. Но поток жизни подхватил, вынес на другие высоты. Кресты, вельможи, министры, цари, собственный каменный дом, поместья, жена-помещица, дворянство, именитые родственники, дети... Будто с кем другим. А ком все растет и растет... Жди теперь действительного статского, новых царских милостей. И никому нет дела до неэвклидовой геометрии. Считают чудачеством. «Чем бы дитя ни тешилось...» Сам царь повелевает Лобачевскому обследовать высшие учебные заведения Петербурга, Дерпта, Москвы. Он снова в Петербурге. Осматривает Академию наук, университет, педагогический институт, корпус путей сообщения, Пажеский корпус. Мечтает о встречи с Пушкиным и Гоголем. В Петербурге Лобачевского ждет тяжелая весть: убит на дуэли Пушкин! Николай Иванович бесцельно бродит по гранитным набережным Невы, закованной льдом; Петербург кажется опустевшим. Оборвалась самая звучная струна в мироздании... Бесприютно и холодно. Когда весть о гибели Пушкина дошла до Казани, профессор Суровцев прослезился и воскликнул: «Закатилось солнце русской поэзии: умер Пушкин!.. Можем ли читать лекцию? Пойдемте в церковь и помолимся о нем...» Дома Лобачевский застал Варвару Алексеевну в беспамятстве: оказывается, пока он был в отъезде умерла дочь Надежда. Летом этого года Николай Иванович познакомился с известным поэтом Василием Жуковским, стихи которого знал. Высокий румяный человек во фраке, поэт Жуковский сопровождал наследника цесаревича Александра Николаевича (будущего Александра II), совершающего путешествие по России. Цесаревич пожелал осмотреть университет, встретиться с его ректором Лобачевским. Встреча состоялась в так называемой «желтой зале» и не произвела особого впечатления на Николая Ивановича. Но потом, после отъезда цесаревича, Лобачевский еще много думал о поэте Жуковском. Жуковский и Пушкин... Они были друзьями. Но как далеки они друг от друга! Непримиримый враг трона Пушкин и царедворец Жуковский, воспитатель царских детей... Интерес к творчеству Жуковского навсегда был утрачен. А ты стал бы гнуть выю перед его величеством, прислуживать его деткам?.. Ведь даже Эйлер... Лобачевский всегда ставил себе прямые вопросы и отвечал на них. Он был человеком необыкновенно чуткой и стыдливой души. Лично для себя он никогда ничего не требовал, даже того, что принадлежало ему по праву. Лишь один раз... и то ради озорства, когда надумал уйти из университета, решил поглумиться над ними. А они поверили, приняли его за «своего», требующего законной доли от общего пирога. С тех пор он больше не шутил с ними, - ведь им не присуще чувство юмора. Не успел царь чихнуть, а Лобачевский уже в действительных статских!.. Его всегда хотели сделать сообщником. Вот и теперь Николай издал новый устав для университетов. Лобачевский должен проводить этот устав, ограничивающий доступ детям народа в высшие учебные заведения, в жизнь. Ведь Лобачевский теперь дворянин, и какое дело ему до разночинцев?.. А как же Мабли с его правами народа на революцию, Бэкон, просветители, энциклопедисты? Может быть, все-таки нужно воспитывать народ, как.делал Пушкин, а не царских отпрысков? И Лобачевский поступает так, как умел поступать только он один. По всему городу расклеены объявления: ректор университета в определенные дни недели будет читать публичные лекции «для распространения вкуса к учению». И он читает «народную физику, для ремесленного класса», то есть для рабочих. Как бы ни был занят, никогда не пропускает этих лекций. Двери университета открыты для всех. Цикл публичных лекций ректора носит название «О химическом разложении и составлении тел действием электрического тока». Он умеет увлекательно, доходчиво объяснять самые сложные вопросы. Ставит опыты. Он воюет наиболее доступным ему оружием - просвещением. Помогают студенты, магистры, адъюнкты. И вот уже чтение публичных лекций становится обязательным для каждого, законом. Даже больной Никольский, умеющий подлаживаться ко всем передрягам, обучает мужиков арифметике. Котельников, Казембек, старый Иван Ипатьевич Запольский, бывший учитель Лобачевского, учитель математики в гимназии, недавно закончивший университет с серебряной медалью Александр Попов, химик Зинин, ботаник Эдуард Эверсман, сын - Мусина-Пушкина Николай - их не так уж мало, народных просветителей! Мусин-Пушкин, разумеется, верен себе: он выхлопотал для Николая Ивановича особое вознаграждение «за успешное и весьма полезное чтение публичных лекций». В министерстве не разобрались, о чем речь, вознаграждение выплатили. В памятной записке попечитель отметил: «Профессор Лобачевский увлекал слушателей, представляя им в поэтических картинах дивное строение мира с его разнообразными явлениями». Когда позже министр пожурил Михаила Николаевича за подобное «новшество», Мусин-Пушкин искренне удивился:

    А что? Образовывать надобно... И профессор Лобачевский так говорит! Шли годы. В июле 1846 г. исполнилось 30 лет его службы в университете. По уставу ученый должен был уйти, несмотря на то, что он был в расцвете сил - ему было только 53 года. Вскоре умер старший сын Лобачевского, что подорвало его здоровье. Он стал угрюмым и начал слепнуть. За год до смерти, больной и ослепший, Лобачевский продиктовал свой последний труд «Пангеометрия». 24 февраля 1856 г. ученый умер непризнанным, и прежде всего на своей родине. Как всегда, помог случай. После кончины Гаусса были опубликованы его дневники и переписка, содержавшие восторженные отзывы о работах Лобачевского. Об ученом заговорили, стали разыскивать его труды. Первое истолкование его геометрии, за которым последовало признание, было дано итальянским математиком Э. Бельтрами. В 1895 г. была учреждена международная премия имени Лобачевского за выдающиеся открытия в области геометрии. Ее первыми лауреатами стали немецкие ученые Д. Гильберт и Ф. Клейн, развивавшие идеи Лобачевского и сделавшие важные открытия в области обоснования евклидовой и неевклидовой геометрий. В 1896 году на средства, собранные по международной подписке, в Казани был открыт памятник Лобачевскому. Великое открытие казанского ученого расширило наши геометрические представления. Наряду с евклидовым, ученые стали рассматривать и неевклидовы пространства. «...Создание геометрии Лобачевского, - писал академик А.Н. Колмогоров, - явилось поворотным пунктом, определившим в значительной мере весь стиль математического мышления XIX века, столь противоположный стилю мышления математиков предыдущего XVIII века». Основная научная заслуга Н.И. Лобачевского заключается в том, что он впервые до конца усмотрел логическую недоказуемость евклидовой аксиомы параллельных и сделал из этой недоказуемости все основные математические выводы. Аксиома параллельных, как известно, гласит: в данной плоскости к данной прямой можно через данную, не лежащую на этой прямой, точку провести только одну параллельную прямую. В отличие от остальных аксиом элементарной геометрии, аксиома параллельных не обладает свойством непосредственной очевидности, хотя бы уже по одному тому, что является высказыванием о всей бесконечной прямой в целом, тогда как в нашем опыте мы сталкиваемся лишь с большими или меньшими «кусками» (отрезками) прямых. Поэтому на всём протяжении истории геометрии-от древности до первой четверти прошлого века - имели место попытки доказать аксиому параллельных, т.е. вывести её из остальных аксиом геометрии. С таких попыток начал и Н.И. Лобачевский, принявший противоположное этой аксиоме допущение, что к данной прямой через данную точку можно провести по крайней мере две параллельные. Н.И. Лобачевский стремился привести это допущение к противоречию. Однако по мере того, как он развёртывал из сделанного им допущения и совокупности остальных аксиом Евклида всё более и более длинную цепь следствий, ему становилось всё более ясным, что никакого противоречия не только не получается, но и не может получиться. Вместо противоречия Н.И. Лобачевский получил хоть и своеобразную, но логически совершенно стройную и безупречную систему предложений, систему, обладающую тем же логическим совершенством, что и обычная евклидова геометрия. Эта система предложений и составляет так называемую неевклидову геометрию или геометрию Лобачевского. Получив убеждение в непротиворечивости построенной им геометрической системы, Н.И. Лобачевский строгого доказательства этой непротиворечивости не дал, да и не мог дать, так как такое доказательство выходило за пределы методов математики начала XIX в. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского дали лишь в конце минувшего века Кэли, Пуанкаре и Клейн. Не давши формального доказательства логического равноправия своей геометрической системы с обычной системой Евклида, Н.И. Лобачевский по существу вполне понимал несомненность самого факта этого равноправия, с полной определённостью высказав, что при логической безупречности обеих геометрических систем вопрос о том, какая из них осуществляется в физическом мире, может быть решён только опытом. Н.И. Лобачевский был первым, кто взглянул на математику как на опытную науку, а не как на абстрактную логическую схему. Он был первым, кто ставил опыты для измерения суммы углов треугольника; первым, кто сумел отказаться от тысячелетнего предрассудка априорности геометрических истин. Известно, что он любил часто повторять слова: «Оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного-разума всю мудрость, спрашивайте природу, она хранит все тайны и на вопросы Ваши будет Вам отвечать непременно и удовлетворительно». В точку зрения Н.И. Лобачевского современная наука вносит лишь одну поправку. Вопрос о том, какая геометрия осуществляется в физическом мире, не имеет того непосредственного наивного смысла, который ему придавался во времена Лобачевского. Ведь самые основные понятия геометрии - понятия точки и прямой, родившись, как и всё наше познание, из опыта, не являются, тем не менее, непосредственно данными нам в опыте, а возникли лишь путём абстракции от опыта, в качестве наших идеализации опытных данных, идеализации, только и дающих возможность приложения математического метода к изучению действительности. Чтобы пояснить это, укажем только, что геометрическая прямая, уже в силу одной своей бесконечности, не является - в том виде, как она изучается в геометрии, - предметом нашего опыта, а лишь идеализацией непосредственно воспринимаемых нами весьма длинных и тонких стержней или световых лучей. Поэтому невозможна окончательная опытная проверка аксиомы параллельных Евклида или Лобачевского, как невозможно и абсолютно точное установление суммы углов треугольника: все измерения любых физических данных нам углов всегда лишь приблизительны. Мы можем лишь утверждать, что геометрия Евклида является идеализацией действительных пространственных соотношений, вполне удовлетворяющей нас, пока мы имеем дело с «кусками пространства не очень большими и не очень малыми», т.е. пока мы не выходим ни в ту, ни в другую сторону слишком далеко за пределы наших обычных, практических масштабов, пока мы, с одной стороны, скажем, остаёмся в пределах солнечной системы, а с другой, - не погружаемся чересчур в глубь атомного ядра. Положение меняется, когда мы переходим к космическим масштабам. А там за горизонтом наших самых совершенных телескопов наступает такое искривление пространства и его сверхтотальное сжатие, что проблема отпадает сама собой. Современная общая теория относительности рассматривает геометрическую структуру пространства как нечто зависящее от действующих в этом пространстве масс и приходит к необходимости привлекать геометрические системы, являющиеся «неевклидовыми» в гораздо более сложном смысле этого слова, чем тот, который связывается с геометрией уже самого Лобачевского. Значение самого факта создания неевклидовой геометрии для всей современной математики и естествознания колоссально, и английский математик Клиффорд, назвавший Н.И. Лобачевского «Коперником геометрии», не впал в преувеличение. Н.И. Лобачевский разрушил догму «неподвижной, единственно истинной евклидовой геометрии» так же, как Коперник разрушил догму о неподвижной, составляющей незыблемый центр Вселенной - Земле. Н.И. Лобачевский убедительно показал, что наша геометрия есть одна из нескольких логически равноправных геометрий, одинаково безупречных, одинаково полноценных логически, одинаково истинных в качестве математических теорий. Вопрос о том, какая из этих теорий истинна в физическом смысле слова, т.е. наиболее приспособлена к изучению того или иного круга физических явлений, есть именно вопрос физики, а не математики, и притом вопрос, решение которого не дано раз и навсегда евклидовой геометрией, а зависит от того, каков избранный нами круг физических явлений. Единственной, правда значительной, привилегией евклидовой геометрии остаётся при этом то, что она продолжает быть математической идеализацией нашего повседневного пространственного опыта и поэтому, конечно, сохраняет своё основное положение как в значительной части механики и физики, так, тем более, во всей технике. Но философской и математической значительности открытия Н.И. Лобачевского это обстоятельство, конечно, не в силах умалить.

    Список сочинений Лобачевского:

    1. 1823. Геометрия. Издана в 1909 г. Казанским Физико-математическим Обществом. К «Геометрии» приложены два доказательства постулатума Евклида, которые Лобачевский излагал в своих лекциях 1815-17 г.

    2. 1828. О резонансе или взаимном колебании воздушных столбов («Казанский Вестник», ч. 24, ноябрь и декабрь 1828, стр. 213-224). Извлечение из мемуара Wheatstone"а: «On thе rеsonances or reciprocated vibrations of columns of air» («Quarterly Journal of Science, Literature and Arts». New Sеries I, 175-183, London, 1828).

    3. 1829-1830. О началах геометрии («Казанский Вестник», ч. 25, февраль и март 1829, стр. 178-187; апрель 1829, стр. 228-241; ч. 27, ноябрь и декабрь 1829, стр. 227-243, табл. I, фиг. 1-9; ч. 28, март и апрель 1830, стр. 251-283, табл. II, фиг. 10-17; июль и август 1830, стр. 571-636). Перепечатано в полном собрании сочинений по геометрии, т. I, Казань, 1883, стр. 1-67.

    4. 1828. Речь о важнейших предметах воспитания, прочт. 5 июля 1828 («Казанский Вестник», ч. 35, август 1832, стр. 577-596).

    5. 1834. Алгебра или вычисление конечных. Казань, университетская типография (Цензурное дозволение дано Сергеем Аксаковым, февраля 18-го 1832 г. в Москве), стр. Х и 528. 8°.

    6. 1834. Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без единицы делится на 8 («Ученые Записки», 1834, І, стр. 3-32).

    7. 1834. Об исчезании тригонометрических строк («Ученые Записки», 1834, II, стр. 167-226).

    8. 1835. Условные уравнения для движения и положения главных осей обращения в твердой системе («Ученые Записки» Московского университета. Февраль 1835, № VIII, стр. 169-190).

    9. 1835. Воображаемая геометрия («Ученые Записки», 1835, І, стр. 3-83, табл. с фиг. 1-8). Почти совпадает с № 13. Перепечатано в Полном собрании сочинений, т. І, стр. 71-120.

    10. 1835. Способ уверяться в исчезании бесконечных строк и приближаться к значению функций от весьма больших чисел («Ученые Записки», 1835, II, стр. 211-342).

    11. 1835-1838. Новые начала геометрии с полною теориею параллельных («Ученые Записки», 1835, III. стр. 3-48. Введение и глава І, І таблица, фиг. 1-20; 1836, II, стр. 3-98, главы IІ - V, 3 табл., фиг. 21-41, 42-60, 61-75; 1836, III, стр. 3-50, главы VI-VII, 2 табл., фиг. 76-91, 92-106; 1837, І. стр. 3-97, главы VIII-XI, 2 табл., фиг. 107-120, 121-134; 1838, І, стр. 3-124, глава XII; 1838, III, стр. 3-65, глава XIII). Перепечатано в Полном собрании сочинений, т. І, стр. 219-486.

    12. 1836. Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам («Ученые Записки», 1836, І, стр. 3-166, 1 таблица, фиг. 1-20). Перепечатано в полном собрании сочинений, т. І, стр. 121-218.

    13. 1837. Géométrie imaginaire par М-r. N. Lobatschewsky, recteur de l"Université de Cazan. (Журнал Крелле. T. 17, тетр. 4, стр. 295-320, 1 табл., фиг. 1-8. Берлин, 1837; послано в 1834 или 1835 г.). Перепечатано в Полном собрании сочинен., т. II, стр. 581-613.

    14. 1840. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien von Nicolaus Lobatsсhewsky, Kaiserl. russ. wirkl. Staatsrathe und ord. Prof. der Mathematik bei der Universität Kasan. Berlin. 1840. In der F. Finckeschen Buchhandlung (Weidle"sche Buchdruckerei) 61 стр. малoго октава, 2 табл., фиг. 1-15, 16-35. Перепечатано fac simile фирмою Mayer und Müller в Берлине 1887. Перепечатано в Полном собрании сочинений, т. II, стр. 553-578.

    15. 1841. Ueber die Convergenz der unendlichen Reihen (Приложение к «Meteorologische Beobachtungen aus dem Lehrbezirk der Kaiserlich Russischen Universität Kasan. Auf Kosten der Universität herausgegeben von Ernest Knorr. Heft. I. 1835-36. Kasan in der Universitäts-Buchdruckerei. 1841. Приложение имеет особую пагинацию и статья Лобачевского занимает первые 48 стр.).

    16. 1842. Sur la probabilité des résultats moyens, tirés des observations répétées. (Par Mr. Lobatschefsky, recteur de l"université de Cazan. Journal der reinen und angewandten Mathematik von Grelle. Bd. 24. Heft. 2, стр. 164-170). Перевод некоторых страниц из главы XII «Новых начал». Полное собрание сочинений, стр. 428-438.

    17. 1842. Полное затмение солнца в Пензе 26 июня 1842 г. («Ученые Записки», 1842, III, стр. 51-83; перепечатано также в «Журнале Министерства Народного Просвещения», 1843, т. XXXIX, отдел. II, стр. 65-96).

    18. 1845. Подробный разбор рассуждения, представленного магистром А. Ф. Поповым под названием: «Об интегрировании дифференциальных уравнений гидродинамики, приведенных к линейному виду», на степень доктора математики и астрономии. Приложение к докторской диссертации Попова. Казань, 1845.

    19. 1852. Значение некоторых определенных интегралов («Ученые Записки», 1852 г., т. IV, вып. I, стр. 1-26; вып. II, стр. 27-34). Эта работа появилась и на немецком языке в издававшемся Г. А. Эрманом «Archiv für wissenschaftliche Kunde von Russland». Berlin 1855. Bd. 14, стр, 232-272, под заглавием: «Ueber den Werth einiger bestimmten Integrale. Nach dem Russischen von Herrn Lobatschefskji, Prof. emer. in Kasan».

    20. 1856. Pangéométrie ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles, par N. Lobatscheffsky, professeur émérite de l"université de Kasan et membre honoraire de l"université de Moscou (Сборник ученых статей, написанных профессором Императорского Казанского университета, в память пятидесятилетнего его существования, т. І. Казань. 1856, стр. 279-340. Перепечатано в Полном собрании сочинений, т. II, стр. 617-680).

    21. 1855. Пангеометрия, заслуженного профессора Н.И. Лобачевского («Ученые Записки», 1855, т. І, стр. 1-56; Казань, 1856 г. Совпадает с № 20. Перепечатано в Полном собрании сочинений, т. І, стр. 489-550).