Литература: Б.Б. с.132-134
При изучении темы «Сложение и вычитание многозначных чисел» основными задачами учителя являются:
· обобщить и систематизировать знания учащихся о действиях сложения и вычитания,
· выработать осознанные и прочные навыки письменных вычислений.
Сложение и вычитание многозначных чисел изучаются одновременно. Это создаёт лучшие условия для овладения знаниями, умениями и навыками, так как вопросы теории этих действий взаимосвязаны, а приёмы вычислений сходны.
С арифметическими действиями сложения, вычитания, а также с некоторыми устными и письменными приемами их выполнения в концентре «Тысяча», учащиеся уже хорошо знакомы. Поэтому при изучении темы «Сложение и вычитание многозначных чисел» целесообразно активно опираться на знания детей, увеличив объём и усилив самостоятельное выполнение заданий.
Подготовительную работу к изучению темы начинают ещё при изучении нумерации многозначных чисел. С этой целью, прежде всего, повторяют устные приёмы сложения и вычитания и свойства действий, на которые они опираются, например: 8400+600, 9800-700, 2000-1700, 740 000+160 000 т.п. Повторяют также письменные приёмы сложения и вычитания трёхзначных чисел. Полезно в устные упражнения на сложение и вычитание разрядных чисел включить примеры с пояснением вида:
6 сот.+8 сот.=14 сот.=1 тыс. 4 сот.;
1 сот. тыс. 5 дес. тыс. – 7 дес. тыс.=15 дес. тыс. -7 дес. тыс.= 8 дес. тыс.
Также полезно повторить и обобщить ранее свойства сложения (переместительное и сочетательное) с иллюстрацией различных случаев их практического применения для рационализации вычислений. Интересно в этом отношении упражнение, в котором предлагается вычислить сумму нескольких слагаемых разными способами и сравнить эти способы вычислений: 11+2+8+9+10, 11+2+(8+9)+10, 11+(2+8)+9+10, (11+9)+(2+8)+10. Это задание направлено на отработку умений практически применять изученные свойства сложения, распространенные на два и более слагаемых. При выполнении этого упражнения учитель обращает внимание учащихся на то, что использование свойств сложения помогает заметно упростить вычисления, просит детей провести сравнение предложенных способов вычислений, выбрать самый рациональный и обосновать свой выбор. Чтобы выработать у учащихся навык практического использования этих свойств сложения, в дальнейшем в устный счёт целесообразно включить аналогичные примеры с тем, чтобы дети чаще тренировались в их использовании для упрощения вычислений с учётом конкретных особенностей примера. Если пример содержит более трёх слагаемых, его нужно записать на доске.
Такая подготовительная работа создаёт возможность учащимся самостоятельно объяснить письменные приёмы сложение и вычитание многозначных чисел.
При ознакомлении с письменным сложением и вычитанием многозначных чисел учащиеся решают такие примеры, где каждый последующий включает в себя предыдущий, например:
752 4752 54752 _837 _6837 _76837 _376837
+246 +3246+43246425242552425152425
После решения таких примеров учащиеся сами сделают вывод о том, что письменное сложение и вычитание многозначных чисел выполняется так же как и трёхзначных чисел.
Далее случаи сложения и вычитания вводятся с нарастающей трудностью: постепенно увеличивается число переходов через разрядную единицу; включаются случаи вычитания, когда в уменьшаемом содержаться нули; изучается сложение нескольких слагаемых, а также сложение и вычитание величин.
При изучении темы «Сложение и вычитание» проводиться повторение уже известных учащимся случаев сложения и вычитания с нулём: b+0=b, d – 0 = d, 0+с = с, b – b =0, которые включаются сразу же в примеры на письменные вычисления с многозначным числами.
При изучении названной темы перед учителем стоит задача распространить уже знакомые алгоритмы письменного сложения и вычитания на действия с числами больше тысячи, но в пределах миллиона. Эта задача не так сложна при изучении сложения. Уже на первом уроке можно рассмотреть сложение многозначных чисел, как без перехода, так и с переходом через разряд, предварительно повторив алгоритм письменного сложения чисел в пределах 1000, таблицу сложения и вычитания чисел в пределах 20.
Значительно усложняется задача рассмотрения письменных алгоритмов при переходе к вычитанию. Особое внимание следует обратить на новые для учащихся случаи вычитания, чтобы суметь предупредить часто возникающие ошибки. Как показывают наблюдения на уроках и анализ проверочных работ, общий алгоритм вычитания учащиеся усваивают неплохо, а вот его частные случаи, когда в записи уменьшаемого содержаться нули, усваиваются плохо и впоследствии допускают большое число ошибок. Причина таких ошибок в неумении заменять единицу высшего разряда единицами более низшего разряда. Именно на этом необходимо обратить внимание при переходе к рассмотрению этого случая вычитания.
Прежде чем приступить к разъяснению алгоритма вычитания, когда в записи уменьшаемого имеется несколько нулей подряд, целесообразно вспомнить особенности десятичной системы счисления, соотношение между разрядными единицами, предложив учащимся, например, заполнить пропуски в следующих предложениях:
в 1 миллионе 10 сот. тыс.
в 1 миллионе … сот. тыс. и 10 дес.тыс.
в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. и 10 тыс.
в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. и 10 сот.
в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. … сот. 10 дес.
в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. … сот. … дес. и 10 ед.
Очень полезны в качестве подготовительных и примеры такого вида:
400 _ 300 _6000 _5000
8237 36
при решении которых необходимо подробно рассмотреть процесс занимания и замены взятой единицы высшего разряда 10 единицами среднего низшего разряда.
Объяснение нового для учащихся случая можно провести так:
Начинаем вычитание с единиц, но из 0 нельзя вычесть 2. в разряде десятков числа 4700 стоит нуль. Значит, придётся взять («развязать» - можно показать на счётных палочках, которые завязаны в пучки по 10 и 10 таких пучков завязаны в сотню) 1 сотню. Учитель показывает одну сотню палочек: «Сколько это десятков? (10 десятков.) Берём 1 десяток. Сколько же десятков из взятой нами сотни останется в разделе десятков? (9 десятков.) Запомним. Мы взяли одну сотню из 7. Чтобы не забыть об этом, поставим точку над цифрой 7 точку. Взятую сотню мы заменили десятками. В 1 сотне 10 десятков. Из этих 10 десятков (9+1) мы взяли один десяток и перенесли в разряд единиц. 1 десяток содержит 10 единиц. Тогда в разряде десятков останется 9 десятков. (При первом объяснении над нулём в разряде десятков можно записать цифру 9, а в дальнейшем делать это лишь тогда, когда ученик обнаружит непонимание этого момента.) Теперь из десятка, который мы взяли (10 единиц), вычтем число 2 (10-2 = 8), запишем 8 единиц под единицами; из 9 десятков вычтем 3 десятка, получим 6 десятков, записываем в разряде десятков. Точка над цифрой 7 показывает, что 1 сотня была взята, следовательно, осталось 6 сотен. Запишем 6 в разряд сотен и 4 в разряде тысяч ».
Дальнейшее расширение знаний письменных вычислений связано с рассмотрением приёмов письменного сложения трёх и большего числа слагаемых. Перед введением этих приёмов полезно вспомнить, что при сложении нескольких чисел их можно переставлять и объединять в группы любым способом.
Учитель объясняет, что при письменном сложении нескольких слагаемых, подписывают каждое слагаемое одно под другим: единицы под единицами, десятке под десятками и т.д. и складывают числа поразрядно. Как можно использовать этот способ при письменном сложении нескольких слагаемых, например: 3408+237.569+18.440 ? Пример записывается на доске. Учащиеся могут предложить сначала вычислить сумму двух первых слагаемых:
и затем к полученной сумме прибавить третье слагаемое:
+ 18440
На вопрос учителя: «Как находили сумму двух слагаемых?» - дети объясняют: «Мы подписали их одно под другим так, чтобы единицы одного числа стояли под единицами другого, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д., и складывали сначала единицы, потом десятки, потом сотни и т.д. по разрядам». Здесь следует задать вопрос, почему этот способ можно использовать при сложении трёх и более слагаемых. Далее учитель спрашивает: «Какое из трёх слагаемых удобно записать первым? Вторым? Третьим?» На доске появляется запись:
Учитель обращает внимание детей на то, что при такой записи знак «+» пишется только один раз. Вызванный к доске ученик с подробным объяснением выполняет сложение. Полученный ответ полезно сравнить с результатом вычислений при решении примера первым способом и сделать вывод.
Чтобы убедиться, овладели учащиеся умениями письменно овладевать несколько слагаемых, можно предложить им самостоятельно сложить четыре слагаемых.
В процессе изучения темы повторяются и обобщаются знание детей о взаимности между компонентами и результатом каждого из действий: сложения и вычитания. Желательно, чтобы дети сами вспомнили, что если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получиться другое слагаемое, и т.п.
Для закрепления, как и в других случаях, для выработки навыков вычислений необходимо включать разнообразные упражнения. Следует, как можно чаще предлагать задания: решить и выполнить проверку решения примеров одним из способов или реже двумя способами. Это помогает не только закрепить знания связей между результатами и компонентами действий, но и способствует выработке вычислительных навыков и воспитывает привычку контролировать себя.
Составить тематическую проверочную работу по теме «Сложение и вычитание многозначных чисел», подобрать (составить) задания на все приемы.
Похожая информация.
Сорокин А. С.
С65 Техника счета (Методы рациональных вы*
числений). М., «Знание», 1976.
120 с. (Нар. ун-т. Естественнонаучный фак.)
В книге в научно-популярной форме представлен один из
интересных разделов вычислительной математики.
Книга раcчитана на студентов технических вузов, инже-
неров и экономистов. Она может быть полезна учителям сред-
ней школы при организации лекций по устному счету, а также
слушателям народных университетов естественнонаучных зна-
ний и всем, кому приходится иметь дело с вычислительными
операциями.
г 20200-126 ,„
073(02Р76 Б3 ~ 16 -3-76 б1
(С) Издательство «Знание», 1976 г.
ВВЕДЕНИЕ
Современный уровень развития социалистического
народного хозяйства характеризуется повсеместным внед-
рением электронно-вычислительной техники и экономи-
ко-математических методов во все отрасли советской
экономики. Все чаще и чаще математические расчеты
входят в качестве необходимой составляющей в работу
Рабочего, инженера, экономиста, в работу специалистов,
Ранее никогда не сталкивавшихся с необходимостью вы-
полнять вычислительные работы. Но несмотря на то, что
математическая культура современного производствен-
ника стала несоизмеримо выше по сравнению с уровнем
рабочего первых пятилеток, на арифметические расче-
ты, когда их приходится выполнять, тратится неоправ-
данно много времени. «Неумение считать быстро и про-
сто является настолько общим и современным недостат-
ком, что мы его не замечаем, несмотря на весь
приносимый им вред»,- писал И. Ф. Слудский в 1925
году. К сожалению, эта цитата не устарела и сегодня,
правда, с учетом того, что сейчас под умением быстро и
просто считать понимается несколько иное, чем имелось
в виду в то время. Отсутствие навыков в быстрых при-
ближенных вычислениях часто заставляет отказываться
от оценочных расчетов, от рассмотрения ряда вариантов,
столь необходимых для принятия грамотного решения.
Преклонение перед математикой как самой точной на-
укой нередко переходит в веру непогрешимости и опти-
|мальности тех методов счета, которые мы познаем в
средней школе. Любое вмешательство в рутинные, но
|хорошо освоенные нами методы счета чаще всего вызы-
|ает протест (иногда неосознанный), который прежде
проявляется в отношении к новым методам,
Овладение рациональной, быстрой и изящной техни-
кой счета требует от человека определенных усилий, а|
главное-творческого отношения к вычислительному про-
цессу, ибо наиболее эффективные методы, дающие наи-
больший выигрыш в вычислительной работе, основаны
на сознательном использовании основных особенностей
чисел, применяемых в вычислениях. Знание же этихваж-
ных свойств конкретных чисел дает порой исключитель-
ные результаты. Например, даже при наличии арифмо-
метра выполнить умножение чисел 0,9999997-0,9999998-
дело нелегкое (подобные и еще более сложные вычис-
ления приходится производить при расчете надежности
элементов и систем). Но вычисление выполняется устно
проще и быстрее, чем на любой математической машине
Ознакомившись с методом дополнений, вы сможете убе
диться в правильности этого утверждения.
В настоящее время на русском языке отсутствует ли-
тература, хотя бы относительно полно освещающая при-
емы и методы, упрощающие вычисления. Одна из наибо-
лее известных в этой области книга математика Г. Н]
Бермана «Приемы счета» содержит очень небольшое
количество известных приемов и не может удовлетво-
рить требованиям сегодняшнего дня. Но и она стала биб-
лиографической редкостью. Интересная работа Э. Кот-
лера и Р. Мак-Шейна «Система быстрого счета по Трах
тенбергу», вышедшая в переводе с английского языка в
1967 году, включает в основном специфические разработ-
ки немецкого профессора.
Настоящая работа призвана по возможности воспол-
нить этот пробел, помочь всем, кому приходится иметь
дело с вычислениями, предоставить в их распоряжение
наиболее рациональные приемы вычислений, существен-
но сокращающие вычислительный процесс, упрощающие
его и способствующие повышению достоверности поли
чаемых результатов.
В работе представлены материалы по рационализа-
ции выполнения основных арифметических действии
проверке правильности полученных результатов. Наибо-|
лее перспективные и общие методы автор пытался осве-
тить полнее, показать различные аспекты их применения,
чтобы читатель мог активно их освоить, а иногда и раз-
вить дальше. Стремление показать все возможности ме
тода заставляли автора иногда нарушать порядок поме-
щения материала по главам. В частности, чтобы
показать логику развития и использования метода, ма-
териал по возведению в квадрат чисел определенного ви-
да оказался в главе об умножении.
При просмотре материала может возникнуть вопрос:
неужели все написанное здесь можно запомнить? Неуже-
ли все это надо запомнить? Принципы применения ос-
новных методов, безусловно, нужно освоить. Многое бу-
дет непосредственно следовать из этих основных положе-
ний (как, например, метод дополнений). Некоторые
способы, несмотря на относительно узкий круг примене-
ния, настолько просты, что запоминаются непроизволь-
но. В детстве еще мне сообщили способ возведения в
квадрат чисел, оканчивающихся на 5, - число десятков
надо умножить на следующее число и приписать 25:
65-65=? 6-(6+1) =42 65-65 = 4225.
Этого оказалось достаточным, чтобы такой простой ме-
тод навсегда остался в памяти, и вошел в активный ар-
сенал моих вычислительных способов. Но, безусловно,
книга может чему-то научить только заинтересованного
человека, читающего ее с карандашом и бумагой в ру-
ках.
Подавляющее большинство предлагаемых способов
предельно просто, но подробное формальное описание
занимает много места. Поэтому, сталкиваясь с длинными,
многошаговыми методами вычислений, не пугайтесь, раз-
беритесь. В итоге скорее всего все окажется очень про-
сто. Большая часть приемов рассчитана на устное вы-
числение с записью окончательного результата, некото-
рые методы упрощают письменные вычисления.
Иногда выполнение арифметических действий с
одними и теми же числами описывается с применением
разных методов. Читателю предоставляется возможность
выбрать тот из них, который конкретно для него будет
наиболее прост.
В начале второй главы автор дает рекомендации по
записи и расположению чисел в вычисляемых примерах,
но в дальнейшем сам этими рекомендациями не пользу-
йся. Это не случайно. Непривычное расположение чи-
сел, непривычная запись могут мешать восприятию
нового излагаемого материала и с этим необходимо счи-
таться.
Автор будет благодарен всем читателям за высказан-
ные замечания о работе, которые можно послать или в
адрес редакции или непосредственно автору: Москва,
129243, Ракетный бульвар, д. 15, кв. 46,
Глава 1
МЕТОДЫ, УПРОЩАЮЩИЕ
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
С
ложение и вычитание относятся к простей-
шим арифметическим действиям. Предпола-
гается, что читатель выполняет эти действия без затруд-
нения. Поэтому материал данной главы надо рассматри-
вать как попытку систематизировать наши знания по
технике выполнения сложения и вычитания, акцентиро-
вать внимание на тех деталях вычислительного процес-
са, которые позволяют выполнять его несколько быстрее
и с меньшими усилиями, ибо трудно назвать общие ме-
тоды, дающие существенный выигрыш в объеме вычис-
лений при выполнении сложения и вычитания.
УСТНОЕ СЛОЖЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Если возникает необходимость найти сумму ряда
многозначных чисел устно, не производя никаких запи-
сей, то можно рекомендовать следующий порядок вы-
числений, проиллюстрированный на примере сложения
чисел:
5754
2315
+ 6438
Суммируем старший разряд слагаемых
Сложив все цифры старшего разряда, приписываем
к сумме О
и продолжаем прибавлять цифры следующего разряда
220+7+3+4+3=237,
опять приписываем 0 и прибавляем цифры третьего разря-
да 237-2370; 2370+5+1+3+1=2380,
приписываем последний раз 0 и завершаем вычисление
суммы
2380-23 800; 23 800+4+5+8+3 = 23 820.
В конце вычислений приходится помнить относитель-
но большое число, но зато прибавляем к нему каждый
раз только число однозначное. Это существенно облегча-
ет устное вычисление.
Найдите самостоятельно суммы:
1) 2374 2) 2437 3) 1234 4) 659
3943 7538 124 3541
+ + + 35+
6513 1467 2343 2413
7231 9325 594 79
Ответы: 1) 20061, 2) 20 767, 3) 4330, 4) 6692.
Рис. 1. Классы и разряды числа
Назовем количество единиц в каждом разряде на примере некоторых чисел.
72439 - в этом числе девять единиц, три десятка, четыре сотни, две единицы тысяч, семь десятков тысяч.
Число 25346 содержит шесть единиц, четыре десятка, три сотни, пять единиц тысяч и два десятка тысяч.
Назовите количество единиц каждого разряда на примере числа 3126 . Проверяем: шесть единиц, два десятка, одна сотня, три единицы тысяч.
Давайте вместе заполним пропуски (см. рис. 2).
|
|
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
1 десяток = 10 единиц
1 сотня = 10 десятков
1 тысяча = 10 сотен
1 десяток тысяч = 10 единиц тысяч
1 сотня тысяч = 10 десятков тысяч
1 миллион = 10 сотен тысяч
Цель нашего урока - научиться выполнять письменные сложения и вычитания многозначных чисел. Вы уже умеете выполнять сложение и вычитание трехзначных чисел столбиком. Сложение и вычитание многозначных чисел выполняется точно так же.
Сравним два столбика вычислений (см. рис. 3).
|
|
Рис. 3. Сложение многозначных чисел столбиком
Вы заметили, что справа появился новый разряд, разряд единицы тысяч. Объясним, как выполнены вычисления: 6 единиц + 2 единицы = 8 единиц.
Затем складываем десятки: 2 десятка + 9 десятков = 11 десятков. 11 десятков - это 1 десяток и 1 сотня. Сотню прибавим к сотням. 1 сотня + 2 сотни = 3 сотни, но мы еще добавили одну, поэтому под сотнями пишем 4. Вычисляем единицы тысяч: 3 тысячи + 4 тысячи = 7 тысяч. Итак, ответ: 7418.
Рассмотрим вычитание (см. рис. 4).
|
|
Рис. 4. Вычитание многозначных чисел столбиком
Сравните два столбика вычислений. Справа появился разряд единицы тысяч и десятки тысяч. Объясним, как выполнено вычитание. Из 6 единиц вычесть 7 нельзя, поэтому займем один десяток из предыдущего разряда: 16 - 7 = 9, записываем 9 под единицами. Вычисляем десятки: 4 - 0 = 4, но один десяток мы заняли, поэтому записываем 3. Вычитаем сотни. Из 3 сотен 4 сотни вычесть нельзя, поэтому занимаем одну единицу тысяч, это 10 сотен, 13 сотен - 4 сотни = 9 сотен. Вычитаем единицы тысяч. Мы заняли одну единицу тысяч, поэтому вычитаем 4 - 3 = 1. Два переписываем, так как отсутствует разряд десятки тысяч. Ответ: 21939.
Задание 1. Выполнить вычисление, записывая решение столбиком: 528047+106875. И выполнить проверку сложения с помощью вычитания.
Объясним, как выполнили сложение многозначных чисел: 7 единиц + 5 единиц =12. 12 - это 2 единицы и 1 десяток. Под единицами записываем 2, а десяток прибавим к десяткам. Вычисляем десятки: 4 десятка + 7 десятков = 11 десятков, и 1 десяток добавили, получилось 12 десятков. Под десятками пишем 2, а одну сотню добавим к сотням. Вычисляем сотни: 0 + 8 = 8, но одну сотню добавили, поэтому под сотнями записали 9. Найдем количество единиц тысяч: 8 + 6 = 14. 14 единиц тысяч - это 4 единицы тысяч и 1 десяток тысяч, записываем к десяткам. Считаем десятки тысяч: 2 десятка тысяч + 0 и 1 десяток тысяч добавили, получили 3 десятка тысяч. Складываем сотни тысяч: 5 + 1 = 6.
Читаем ответ: 634922 (шестьсот тридцать четыре тысячи девятьсот двадцать два) (см. рис. 5).
|
|
Рис. 5. Иллюстрация к заданию 1
Чтобы выполнить проверку, вычтем из значения сумы одно из слагаемых. Объясним, как выполнено вычитание: из 2 вычесть 7 нельзя, поэтому займем 1 десяток. 12 - 7 = 5. Вычисляем десятки: мы заняли 1 десяток, поэтому остался 1. Из 1 вычесть 4 нельзя, поэтому займем 1 сотню, 1 сотня - это 10 десятков. 11 - 4 = 7. Вычисляем сотни: так как мы заняли 1 сотню, то осталось 8. 8 - 0 = 8 сотен. Вычисляем единицы тысяч: из четырех восемь вычесть нельзя, поэтому занимаем 1 десяток тысяч. 14 - 8 = 6. Записываем под единицами тысяч. Вычисляем десятки тысяч. Один десяток мы заняли, осталось 2. 2 - 2 = 0. Вычисляем сотни тысяч: 6 - 5 = 1. Читаем ответ: 106875 (сто шесть тысяч восемьсот семьдесят пять) (см. рис. 6).
Рис. 7. Иллюстрация к заданию 2
Объясним, как выполнено вычитание: из 0 вычесть 6 нельзя, поэтому занимаем один десяток, 10 - 6 = 4. Осталось 5 десятков. Из 5 вычесть 7 нельзя, поэтому занимаем одну сотню, одна сотня - это 10 десятков. 15 - 7 = 8 десятков. Осталось 4 сотни. 4 сотни - 4 сотни = 0. Вычисляем единицы тысяч: 2 - 1 = 1. Вычисляем десятки тысяч: 2 - 2 = 0. 3 переписываем, так как разряд сотен тысяч в вычитаемом отсутствует. Читаем ответ: 301084 (триста одна тысяча восемьдесят четыре).
Для проверки вычитания сложением нужно к значению разности прибавить вычитаемое (см. рис. 8).
|
|
Рис. 8. Иллюстрация к заданию 2
Объясним, как выполнено сложение: 4 + 6 = 10, под единицами пишем 0, а десяток прибавляем к десяткам. Вычисляем десятки: 8 + 7 = 15 да 1 десяток добавили, получили 16 десятков. 6 пишем на месте десятков, а 1 сотню добавим к сотням. 0 + 4 = 4 да 1 сотня = 5 сотен. Вычисляем единицы тысяч: 1 + 1 = 2. Складываем десятки тысяч: 0 + 2 = 2. Переписываем сотни тысяч. Читаем результат: 322560 (триста двадцать две тысячи пятьсот шестьдесят).
Сравниваем с уменьшаемым и видим, что числа совпадают, значит, вычитание выполнено верно. Запишем результат: 301084 (триста одна тысяча восемьдесят четыре).
Решим математический ребус (см. рис. 9).
|
|
Рис. 9. Ребус
Определим, какие цифры в числах пропущены. Из 4 вычесть какое-то число и получить 9 невозможно, поэтому займем один десяток. Из 14 нужно вычесть 5, чтобы получить 9. Вычли 8 и получили 0. Значит, на месте десятков цифра 8, но один десяток заняли, поэтому пишем 9. Определяем количество сотен: из трех нужно вычесть два, чтобы получить один. Пишем на месте сотен 2 (см. рис. 10).
|
|
Рис. 10. Решение математического ребуса
Мы сегодня учились выполнять письменные сложения и вычитания многозначных чисел.
- Башмаков М.И. Нефёдова М.Г. Математика. 4 класс. М.: Астрель, 2009.
- М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. Математика. 4 класс. Часть 1 из 2, 2011.
- Демидова Т. Е. Козлова С. А. Тонких А. П. Математика. 4 класс 2-е изд., испр. - М.: Баласс, 2013.
Д омашнее задание
1) Задание: запишите столбиком и решите.
2) Максимальная глубина океана 11 022 м. Вычисли разницу между глубиной океана и самой высокой точкой на Земле, если высота самой высокой горы в мире (Эверест) равна 8 848 м над уровнем моря.
3) Сорное растение василек дает 6680 семян в год, а такое растение, как ржаной костер, на 5260 меньше, полевой осот на 12 920 больше, чем василек. Сколько семян в год дают вместе эти растения?
При изучении этой темы основными задачами учителя являются обобщить и систематизировать знания учащихся о действиях сложения и вычитания, закрепить навыки устного сложения и вычитания, выработать осознанные и прочные навыки письменных вычислений. Сложения и вычитание многозначных чисел изучаются одновременно. Это создает лучшие условия для овладения знаниями, умениями и навыками, так как вопросы теории этих действий взаимосвязаны, а приемы вычислений сходны.
Подготовительную работу к изучению темы начинают еще при изучении нумерации многозначных чисел. С этой целью прежде всего повторяют устные приемы сложения и вычитания и свойства действий, на которые они опираются, например: 8400+600, 9800-700, 2000-1700,740 000 + 160 000 и т.п. Повторяют так же письменные приемы сложения и вычитания трехзначных чисел. Полезно в устные упражнения включить задания на сложение и вычитание разрядных чисел с пояснениями вида: 6 сот. + 8 сот. = 1 тыс. 4 сот.; 1 сот. тыс. 5 дес. тыс. - 7 дес. тыс. = 15 дес. тыс. - 7 дес. тыс. = 8 дес. тыс. Такая подготовительная работа создает возможность учащимся самостоятельно объяснить письменные приемы сложения и вычитания многозначных чисел.
Далее случай сложения и вычитания вводятся с нарастающей трудностью: постепенно увеличивается число переходов через разрядную единицу; включаются случаи вычитания, когда в уменьшаемом содержаться нули; изучается сложение нескольких слагаемых, а также сложение и вычитание именованных чисел. Знакомясь с новыми случаями, дети сначала дают подробные пояснения вычислений (называют разрядные единицы и выполняемые преобразования).
К 9 единицам прибавить 7 единиц, получиться 16 единиц, или 1 десяток и 6 единиц; 6 единиц записываем под единицами, а десяток прибавим к десяткам. К 9 десяткам прибавим 0 десятков, получиться 9 десятков, да еще 1 десяток - получиться 10 десятков, или 1 сотня, на месте десятков в сумме пишем 0, а 1 сотню прибавим к сотням.
0 сот. + 0 ст. = 0 сот., 0 сот. + 1 сот. = 1 сот. К 7 тысячам прибавим 6 тысяч, получиться 13 тысяч, или 1 десяток тысяч и 3 единицы тысячи. 3 единицы тысячи записываем, а 1 десяток тысяч прибавим к 4 десяткам тысяч получиться 5 десятков тысяч. Сумма 53 1906.
После того как дети освоят прием вычисления, переходят к сокращенным пояснениям решения: вслух и про себя. Покажем на этом же примере: 9 да 7 - шестнадцать, 6 пишем, 1 запоминаем; 9 да 0 - девять, да 1 - десять, 0 пишем, 1 запоминаем; 0 плюс 0 - нуль, да 1 - один (записываем) и т.д. Краткие пояснения способствуют выработке навыков быстрых вычислений.
Некоторую трудность представляются случаи вычитания, когда уменьшаемое выражению разрядным числом. Последовательное раздробление единиц высшего разряда в единицы низшего удобно проиллюстрировать на счетах (1000 можно представить как 9 сот., 9 дес., 10 ед.; 10 000 - как 9 тыс., 9 сот., 9 дес., 10 ед. и и т.д.). Полезно, кроме того, включить в устные упражнения решение с пояснением таких примеров: 1 дес. - 2 ед., 1 сот. - 5 дес., 1 тыс. - 7 сот. и т.п. Особое внимание следует уделить случаям вычитания, в которых последовательное раздробление единиц высшего разряда выполняется неоднократно, например: 100 100 - 205 708. Целесообразно подобные случаи сопоставить с предыдущими (100 00 - 4097 и 701 000 - 4097 и т.п.), а так же требовать пробного объяснения решения примеров.
Из нуля единиц не можем вычесть 8 единиц. Берем 1 сотню (ставим точку над сотнями) и раздробляем сотню в десятки. В 1 сотне 10 десятков, берем из 10 десятков 1 десяток (запомним, что осталось 9 десятков). Раздробляем десяток в единицы, получаем 10 единиц. Из 10 единиц вычитаем 0 десятков, получается 9 десятков. Из нуля сотен не можем вычесть 7 сотен. Берем 1 сотню тысяч, раздробляем ее в десятки тысяч, получаем 10 десятков тысяч, из них берем 1 десяток тысяч и раздробляем его в единицы тысяч (запомним, что осталось 9 десятков тысяч) и т.д. Позднее дети кратно поясняют решение примеров на вычитание. Приведем сокращенное пояснение к рассмотренному примеру: берем 1 сотню, из 10 вычитаем 8, получиться 2; из 9 вычитаем нуль, получиться 9; берем 1 сотню тысяч, из 10 вычитаем 7, получиться 3; из 9 вычитаем 5, получиться 4; из 9 вычитаем 0, получиться 9; из 3 вычитаем 2, получиться 1; разность 194392.
Как и в других случаях, для выработки навыков вычислений необходимо включить разнообразные упражнения. Следует как можно чаще предлагать задания: решить и выполнить проверку решения примеров одним из способов или реже двумя способами. Это помогает не только закрепить знания взаимосвязей между результатами и компонентами действий, но и способствует выработке вычислительных навыков и воспитывает привычку контролировать себя.
При изучении сложения и вычитания многозначных чисел важно уделить внимание устным приемам выполнения этих действий, иначе, овладев письменными приемами вычислений, дети начинают применять их как для письменных, так и для устных случаев. С этой целью необходимо при решении примеров предлагать учащимся самим выбирать примеры, которые они могут решить устно (с записью в строчку), и лишь наиболее трудные примеры решать с помощью письменных приемов (с записью в столбик). В устных упражнениях следует систематически закреплять приемы устного сложения и вычитания 2-3-значных чисел, а также многозначных с применением приемов перестановки и группировки при сложении нескольких чисел, с использованием там, где уместно, приема округления одного из компонентов сложения и вычитания. Вслед за изучение сложения и вычитания многозначных чисел приступают к сложению и вычитанию составных именованных чисел, выраженных в метрических мерах, так как приемы этих вычислений сходны. Умение выполнять действия над именованными числами необходимо для решения задач. Действия над составными именованными числами можно выполнять по-разному: либо сразу складывать (вычитать) единицы одинаковых наименований, начиная с низших, попутно выполняя соответствующие преобразования, либо сначала преобразовать данные числа в простые именованные числа с одинаковыми наименованиями, выполнить действия над ними как над отвлеченными числами и выразить полученный результат в более крупных единицах измерения. И тот и другой прием показывают учащимися. Первый способ экономный в записи, хорошо иллюстрирует аналогию действий над отвлеченными и именованными числами, но несколько труден для детей. Использование его следует ограничить 2-3 упражнениями, цель которых - сопоставить приемы вычислений с отвлеченными и именованными числами:
- 12647 12m 647 кг 12 км 647 м 13086 13 км 086 м
- 5384 5m 384 кг 5 км 384 м 8265 8 км 265 м
- (10 сотен образуют 1 тысячу, которую прибавляем к тысячам, … 10 сотен килограммов образуют 1 тысячу килограммов, или 1 т, которую прибавляем к тоннам, и т.п.; … из 0 сотен 2 сотни не вычесть, берем 1 тысячу, 1 тысяча составляет 10 сотен, из 10 сотен вычитаем 2 сотни и аналогично; … занимаем 1 км, в 1 км - 1000 м или 10 сотен метров, из 10 сотен метров вычитаем 2 сотни метров). Как видно, здесь приходится детям оперировать числами вида 10 сотен килограммов, 10 сотен метров, 10 десятков копеек и т.п., которые имеют двойные наименования - единиц счёта и единиц измерения, что, безусловно, затрудняет их преобразования и действия над ними.
Второй способ вычислений над именованными числами гораздо проще, хотя и более громоздкий в записи - наиболее широко используется при решении примеров и задач. Чтобы сократить записи, преобразования именованных чисел можно выполнять устно и не записывать:
124 руб. - 78 руб. 50 коп. = 45 руб. 50 коп. 12400
Несколько позднее (в конце второго полугодия III класса) изучается сложение и вычитание именованных чисел, выраженных в мерах времени. Эти вычисления гораздо сложнее, потому что единицы времени находятся в недесятичных соотношениях. На это специально обращают внимание детей, предлагая им сравнить решение примеров (т.е. найти сходное и различное в приемах вычислений):
- 13 м 54 см 13 ч 54 мин 12 м 34 см 12 ч 34 мин
- 6 м 46 см 6 ч 46 мин 8 м 56 см 8 ч 56 мин
Сложение и вычитание составных именованных чисел, выраженных в единицах времени, целесообразно выполнять, не производя замены их простыми именованными числами, например:
- 12 лет 10 мес.
- 5 лет 11 мес.
- 6 лет 11 мес.
Из 10 мес. Не вычесть 11 мес., берем 1 год и выражаем его в месяцах - 12 месяцев. 12 мес. да 10 мес. - это 22 мес. Из 22 мес. вычтем 11 мес., получим 11 мес., из 11 лет вычтем 5 лет, получим 6 лет.
Упражнения на сложение и вычитание именованных чисел, выраженных в единицах времени, с небольшими числами надо выполнять устно без записи вычислений столбиком.
В процессе изучения сложения и вычитания многозначных чисел повторяют и закрепляют знания о действиях: названия компонентов и результатов действий, свойства, нахождение неизвестных компонентов, рассматривается вопрос об изменении суммы и разности при измерении одного из компонентов.
М.А. Бантова выделяет следующие ошибки учащихся при сложении и вычитании многозначных чисел:
1. Ошибки, вызванные неправильной записью примеров в столбик при письменном сложении и вычитании.
С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками, и т.д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т.д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка».
2. Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, а при вычитании - единиц, которые занимали.
Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя - не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда. Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением.
Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен рассуждать: «К десяти прибавить 5, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 - четыре, да 2, всего 6» и т.д. Этого делать не следует, потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение, что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: «4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, 2 запоминаем; 2 да 5 - 7, 7 умножить на 6, получится 42» и т.д.
3. Ошибки в устных приёмах сложения и вычитания чисел больших ста (540±300, 1600±700 и т.п.) те же, что и при сложении и вычитании чисел в пределах ста. Для их устранения используются методические приемы, о которых говорилось выше.
Упражнения (при знакомстве):
63+35; 263+435; 1263+5435; 71263+25435 Вывод: многозначные числа складываются так же, так и 2-значные и 3-значные.
Ошибки и их предупреждение:
Неправильная запись слагаемых столбиком (не разряд под разрядом). Причина: не усвоен алгоритм
Пути исправления: проговаривание алгоритма, требование аккуратности письма (каждая цифра в своей клетке), решение с проверкой.
5329+2427=7746 (забыл прибавить десяток)
Пути исправления: подробное проговаривание алгоритма, подписывание карандашом, проверка вычитанием.
7538+1227=8766 (незнание таблицы сложения)
Пути исправления: вернуться к табличному сложению, проверка вычитанием.
Приём упрощения решения от преобразования компонента:
4599+4318=(4600+4318)-1=8817
502+475=(500+475)+2=977
256+346+444+254=(256+444)+(346+254)=1300
Вычитание.
Сложные случаи вычитания: 6000-248
1 способ решения: занимаем 1 тысячу. 1000=9сотен+9десятков+10единиц
Подготовка: упражнения на замену разрядного числа на сумму нижестоящих разрядов:
999+1, 990+10, 9990+10, 9900+100
Сначала на счётах, потом без счёт.
100=дес.=дес.ед.
1000=сот.=сот.дес.=сот.дес.ед.
6000-248. Беру 1 тысячу. 1000=10сотен. Беру 1 сотню. 100=10десятков.
Проверка сложением.
Ошибки и их предупреждение:
1). Неправильная запись чисел (разряд под разрядом) – проговаривание алгоритма, каждая цифра в своей клетке!
2). Неправильная замена высшего разряда низшим (задания вида 100=*дес. и т.д.)
3). Забыли, что ранее заняли какой-то разряд (точки)
4). Неверное вычитание в пределах 20 (таблица вычитания)
Упражнения:
В ответе цифры, каждая цифра обозначает букву – собрать слово
Примеры с окошечками и звёздочками
Найди ошибку
Даны 3 или более числа, что их связывает?
Работа в группах. Задачи.
Сравнить ответы
Круговые примеры
Ответы в порядке увеличения и др.
84. Методика формирования письменных приёмов умножения многозначных чисел в нкм.
После сложения и вычитания многозначных чисел. Порядок изучения темы:
Умножение многозначных чисел на 1-значное число
Умножение многозначных чисел на 2-3-значное разрядное число
Умножение многозначных чисел на 2-3-значное неразрядное число.
Умножение многозначных чисел на 1-значное число
Подготовка: названия компонентов умножения, повторить конкретный смысл умножения, таблицу умножения, частные случаи умножения, свойство умножения суммы на число
Ознакомление с приёмом:
275*3 1 способ : в строчку, 275*3=(200+70+5)*3=(200*3)+(70*3)+(5*3)=600+210+15=825
2 способ : в столбик (короче)
Сначала выполняют умножение 2-3-значных чисел на 1-значное, затем 4-значное на 1-значное (по аналогии). Затем числа с 0.
Упражнения: *Найди и исправь ошибки; усложнение: нули в конце 1-го множителя
Умножение многозначных чисел на 2-3-значное разрядное число
Подготовка: умножение разрядного числа на произведение, 300=*100, операции разложения числа на разряды, умножение 2-3-значных чисел на 1-значное число, умножение на круглые числа.
Ознакомление: 521*30
Усложнение: в середине 1 множителя появляется нуль: 5021*30 → нули в конце 1 множителя: 730*40
Сначала умножаем числа, не обращая внимания на нуль, потом в произведении приписываем столько нулей, сколько в конце 1 и 2 множителей.
Закрепление: *Найди ошибки; *Выбери удобную запись
Умножение многозначных чисел на 2-3-значное неразрядное число.
Подготовка: 43*21=43*(20+1)=(43*20)+(43*1)=860+43=903; состав чисел; умножение числа на сумму; умножение многозначного числа на разрядное число, на 1-значное, сложение многозначных чисел.
Введение приёма: 381*72 сначала в строчку – сложно. Затем столбиком.
Памятка: умножаю 1-й множитель на единицы, получаю 1-ое неполное произведение; умножаю 1-й множитель на десятки, получаю 2-ое неполное произведение; складываю 1-ое и 2-ое неполные произведения, читаю ответ.
Закрепление: * Вычисли 232*75. Используя полученную запись, назови… ; *Задание с окошечками; *Исправь ошибки.
| " |
