Позволяющие переходить от решаемого уравнения к так называемым равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям , по решениям которых есть возможность определить решение исходного уравнения. В этой статье мы подробно разберем, какие уравнения называются равносильными, а какие – уравнениями-следствиями, дадим соответствующие определения, приведем поясняющие примеры и объясним, как найти корни уравнения по известным корням равносильного уравнения и уравнения-следствия.
Равносильные уравнения, определение, примеры
Дадим определение равносильных уравнений.
Определение
Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней.
Такие же по смыслу определения, но немного отличающиеся по формулировке, приводятся в различных учебниках математики, например,
Определение
Два уравнения f(x)=g(x) и r(x)=s(x) называют равносильными , если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней) .
Определение
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями . Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными .
Под одними и теми же корнями понимается следующее: если какое-то число является корнем одного из равносильных уравнений, то оно является и корнем любого другого из этих уравнений, и не одно из равносильных уравнений не может иметь корня, который не является корнем любого другого из этих уравнений.
Приведем примеры равносильных уравнений. Например, три уравнения 4·x=8 , 2·x=4 и x=2 – равносильные. Действительно, каждое из них имеет единственный корень 2 , поэтому они равносильны по определению. Еще пример: равносильными являются два уравнения x·0=0 и 2+x=x+2 , множества их решений совпадают: корнем и первого и второго из них является любое число. Два уравнения x=x+5 и x 4 =−1 также представляют собой пример равносильных уравнений, они оба не имеют действительных решений.
Для полноты картины стоит привести примеры не равносильных уравнений. Например, не равносильны уравнения x=2 и x 2 =4 , так как второе уравнение имеет корень −2 , который не является корнем первого уравнения. Уравнения и также не являются равносильными, так как корнями второго уравнения являются любые числа, а число нуль не является корнем первого уравнения.
Озвученное определение равносильных уравнений относится как к уравнениям с одной переменной, так и к уравнениям с большим числом переменных. Однако для уравнений с двумя, тремя и т.д. переменными слово «корни» в определении нужно заменить словом «решения». Итак,
Определение
Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения, или не имеющие их.
Покажем пример равносильных уравнений с несколькими переменными. x 2 +y 2 +z 2 =0 и 5·x 2 +x 2 ·y 4 ·z 8 =0 - вот пример равносильных уравнений с тремя переменными x , y и z , они оба имеют единственное решение (0, 0, 0) . А вот уравнения с двумя переменными x+y=5 и x·y=1 не являются равносильными, так как, например, пара значений x=2 , y=3 является решением первого уравнения (при подстановке этих значений в первое уравнение получаем верное равенство 2+3=5 ), но не является решением второго (при подстановке этих значений во второе уравнение получаем неверное равенство 2·3=1 ).
Уравнения-следствия
Приведем определения уравнений-следствий из школьных учебников:
Определение
Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x) , то уравнение p(x)=h(x) называют следствием уравнения f(x)=g(x) .
Определение
Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения .
Приведем пару примеров уравнений-следствий. Уравнение x 2 =3 2 является следствием уравнения x−3=0 . Действительно, второе уравнение имеет единственный корень x=3 , этот корень является и корнем уравнения x 2 =3 2 , поэтому по определению уравнение x 2 =3 2 – это следствие уравнения x−3=0 . Другой пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 – это следствие уравнения , так как все корни второго уравнения (их два, это 2 и 3 ), очевидно, являются корнями первого уравнения.
Из определения уравнения-следствия вытекает, что абсолютно любое уравнение является следствием любого уравнения, не имеющего корней.
Стоит привести несколько довольно очевидных следствий из определения равносильных уравнений и определения уравнения-следствия:
- Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
- Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.
- Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
Определение. Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний.
Равносильность формул будем обозначать знаком , а запись A В означает, что формулы A и В равносильны.
Например, равносильны формулы:
Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией) , если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.
Например, тожественно истинны формулы , .
Формула А называется тождественно ложной, если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных.
Например, тождественно ложна формула .
Ясно, что отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Между понятиями равносильности и эквивалентности существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула А В - тавтология, и обратно, если формула А В - тавтология, то формулы А и В равносильны.
Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы.
1. Основные равносильности:
Докажем один из законов поглощения. Рассмотрим формулу . Если в этой формуле а = 1 то, очевидно, и тогда как конъюнкция двух истинных высказываний. Пусть теперь вформуле А x = 0. Но тогда по определению операции конъюнкции будет ложной и конъюнкция . Итак, во всех случаях значения формулы А совпадают со значениями а, а поэтому А x .
2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:
Ясно, что равносильности 5 и 6 получаются из равносильностей 3 и 4 соответственно, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания. Таким образом, в доказательстве нуждаются первые четыре равносильности. Докажем две из них: первую и третью.
Так как при одинаковых логических значениях х и у истинными являются формулы , , , то истинной будет и конъюнкция . Следовательно, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения.
Пусть теперь х и у имеют различные логические значения. Тогда будут ложными эквивалентность и одна из двух импликаций или . То при этом
будет ложной и конъюнкция . Таким образом, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые логические значения.
Рассмотрим равносильность 3. Если х и у принимают одновременно истинные значения, то будет истинной конъюнкция х&у и ложным отрицание конъюнкции . В то же время будут ложными и и , а поэтому будет ложной и дизъюнкция .
Пусть теперь хотя бы одна из переменных х или у принимает значение ложь. Тогда будет ложной конъюнкция х&у и истинной ее отрицание. В то же время отрицание хотя бы одной из переменных будет истинным, а поэтому будет истинной и дизъюнкция .
Следовательно, во всех случаях обе части равносильности 3 принимают одинаковые логические значения.
Аналогично доказываются равносильности 2 и 4.
Из равносильностей этой группы следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.
Дальнейшее исключение логических операций невозможно. Так, если мы будем использовать только конъюнкцию, то уже такая формула как отрицание х не может быть выражена с помощью операции конъюнкции.
Однако существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из пяти логических операций, которыми мы пользуемся. Такой операцией является, например, операция «Штрих Шеффера». Эта операция обозначается символом х|у и определяется следующей таблицей истинности:
x | y | x|у |
Очевидно, имеют место равносильности:
2) х&у (х|у)|(х|у).
Из этих двух равносильностей следует, что всякая формула алгебры логики может быть заменена равносильной формулой, содержащей только операцию «Штрих Шеффера».
Отметим, что .
Аналогично может быть введена операция .
3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:
1. х& у у&х - коммутативность конъюнкции.
2. x у y х - коммутативность дизъюнкции.
3. х& (у& г) (х& у)& z - ассоциативность конъюнкции.
4. х (y z) (х у) z- ассоциативность дизъюнкции.
5. х& (у z) (х& у) (х&z) - дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции.
6. х (y&z) (х y)& (x z) - дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.
Докажем последний из перечисленных законов. Если х = 1, то будут истинными формулы х (у& z), х у, x z. Но тогда будет истинной и конъюнкция (х y)& (x z). Таким образом, при х = 1 обе части равносильности 6 принимают одинаковые логические значения (истинные).
Пусть теперь х = 0. Тогда х (у& z) y&z, x у у и x z z, а поэтому и конъюнкция х (y&z) y&z . Следовательно, здесь обе части равносильности 6 равносильны одной и той же формуле у&z, и поэтому принимают одинаковые логические значения.
§ 5. Равносильные преобразования формул
Используя равносильности I, II и III групп можно часть формулы или формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются равносильными.
Равносильные преобразования используются для доказательства равносильностей, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.
Формула А считается проще равносильной ей формулы В, если она содержит меньше букв, меньше логических операций. При этом обычно операции эквивалентность и импликация заменяются операциями дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относят к элементарным высказываниям. Рассмотрим ряд примеров.
1. Доказать равносильность .
Используя равносильности I, II и III групп
2. Упростить формулу .
Запишем цепочку равносильных формул:
3. Доказать тождественную истинность формулы
Запишем цепочку равносильных формул:
Алгебра Буля
Равносильности III группы говорят о том, что алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными законами относительно операций конъюнкции и дизъюнкции и дистрибутивным законом конъюнкции относительно дизъюнкции, эти же законы имеют место и в алгебре чисел. Поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые проводятся в алгебре чисел (раскрытие скобок, заключение в скобки, вынесение за скобки общего множителя).
Но в алгебре логики возможны и другие преобразования, основанные на использовании равносильностей:
Эта особенность позволяет прийти и к далеко идущим обобщениям.
Рассмотрим непустое множество М элементов любой природы {x,y,z,... }, в котором определены отношение «=» (равно) и три операции: «+» (сложение), « » (умножение) и «-» (отрицание), подчиняющиеся следующим аксиомам:
Коммутативные законы:
1а. х + у = у + х, 1б. х у = у х.
Ассоциативные законы:
2а. х + (у + г) = (х + у) + z, 2б. х (у z) = (x y) z.
Дистрибутивные законы:
3а. (х + у) z = (х z) + (у г) 3б. (x y) + z = (x + z) (y + z).
Законы идемпотентности:
4а. х + х = х, 4б. х х = х.
Закон двойного отрицания:
Законы де-Моргана:
6а. , 6б. .
Законы поглощения:
7а. х + (у х) = х , 7б. х (у + х) = х.
Такое множество М называется булевой алгеброй.
Если под основными элементами х, у, z, ... подразумевать высказывания, под операциями «+», « », «-» дизъюнкцию, конъюнкцию, отрицание соответственно, а знак равенства рассматривать как знак равносильности, то, как следует из равносильностей I, II и III групп, все аксиомы булевой алгебры выполняются.
В тех случаях, когда для некоторой системы аксиом удается подобрать конкретные объекты и конкретные соотношения между ними так, что все аксиомы выполняются, говорят, что найдена интерпретация (или модель) данной системы аксиом.
Значит, алгебра логики является интерпретацией булевой алгебры. Алгебра Буля имеет и другие интерпретации. Например, если под основными элементами х, у, z, ... множества М подразумевать множества, под операциями «+», « », «-» объединение, пересечение, дополнение соответственно, а под знаком равенства - знак равенства множеств, то мы приходим к алгебре множеств. Нетрудно убедиться, что в алгебре множеств все аксиомы алгебры Буля выполняются.
Среди различных интерпретаций булевой алгебры имеются интерпретации и технического характера. Одна из них будет рассмотрена ниже. Как будет показано, она играет важную роль в современной автоматике.
Функции алгебры логики
Как уже отмечалось, значение формулы алгебры логики полностью зависит от значений входящих в эту формулу высказываний. Поэтому формула алгебры логики является функцией входящих в нее элементарных высказываний.
Например, формула является функцией
трех переменных f(x,y,z). Особенностью этой функции является то обстоятельство, что ее аргументы принимают одно из двух значений: ноль или единицу, и при этом функция также принимает одно из двух значений: ноль или единицу.
Определение. Функцией алгебры логики га переменных (или функцией Буля) называется функция га переменных, где каждая переменная принимает два значения: 0 и 1, и при этом функция может принимать только одно из двух значений: 0 или 1.
Ясно, что тождественно истинные и тождественно ложные формулы алгебры логики представляют собой постоянные функции, а две равносильные формулы выражают одну и ту же функцию.
Выясним, каково число функций n переменных. Очевидно, каждую функцию алгебры логики (как и формулу алгебры логики) можно задать с помощью таблицы истинности, которая будет содержать 2 n строк. Следовательно, каждая функция n переменных принимает 2 n значений, состоящих из нулей и единиц. Таким образом, функция n переменных полностью определяется набором значений из нулей и единиц длины 2 n .(Общее же число наборов, состоящих из нулей и единиц, длины 2 n равно . Значит, число различных функций алгебры логики п переменных равно .
В частности, различных функций одной переменной четыре, а различных функций двух переменных шестнадцать. Выпишем все функции алгебры логики одной и двух переменных.
Рассмотрим таблицу истинности для различных функций одной переменной. Она, очевидно, имеет вид:
x | f 1 (x) | f 2 (x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
1 | ||||
Из этой таблицы следует, что две функции одной переменной будут постоянными: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, а f 2 (x) х, иf 3 (x) .
Таблица истинности для всевозможных функций двух переменных имеет вид:
f i = f i (x,y)
x | y | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | f 7 | f 8 | f 9 | f 10 | f 11 | f 12 | f 13 | f 14 | f 15 | f 16 |
Ясно, что аналитические выражения этих функций могут быть записаны следующим образом.
Открытый урок по математике "Схема Бернули. Решение задач по схеме Бернули и Лапласа"
Дидактическая: приобретение умений и навыков работы со схемой Бернулли для вычисления вероятностей.
Развивающая: развитие навыков применения знаний на практике, формирование и развитие функционального мышления студентов, развитие навыков сравнения, анализа и синтеза, навыков работы в паре, расширение профессионального лексикона.
Как можно поиграть в эту игру:
Воспитательная: воспитание интереса к предмету через практическое применение теории, достижение сознательного усвоения учебного материала студентов, формирование умения работать в коллективе, правильного использования компьютерных терминов, интереса к науке, уважения к будущей профессии.
Научность знаний: Б
Тип урока: комбинированное занятие:
- закрепление пройденного на предыдущих занятиях материала;
- тематическая, информационно-проблемная технология;
- обобщение и закрепление изученного на данном занятии материала.
Метод обучения: объяснительно – иллюстративный, проблемный.
Контроль знаний: фронтальный опрос, решение задач, презентация.
Материально-техническое оснащение урока. компьютер, мультимедийный проектор.
Методическое обеспечение: справочные материалы, презентация по теме урока, кроссворд.
Ход урока
1. Организационный момент: 5 мин.
(приветствие, готовность группы к занятию).
2. Проверка знаний:
Проверить фронтально по слайдам вопросы: 10 мин.
- определения раздела “Теория вероятностей”
- основное понятие раздела “Теория вероятностей”
- какие события изучает “Теория вероятностей”
- характеристика случайного события
- классическое определение вероятностей
Подведение итогов. 5 мин.
3. Решение задач по рядам: 5 мин.
Задача 1. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадает четное и меньшее 5 число очков?
Задача 2. В коробке девять одинаковых радиоламп, три из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?
Задача 3. В трех залах кинотеатра идут три различных фильма. Вероятность того, что на определенный час в кассе 1-го зала есть билеты, равна 0,3, в кассе 2-го зала – 0,2, а в кассе 3-го зала – 0,4. Какова вероятность того, что на данный час имеется возможность купить билет хотя бы на один фильм?
4. Проверка у доски способов решения задач. Приложение 1. 5 мин.
5ю Вывод по решению задач:
Вероятность появления события одинаковая для каждой задачи: m и n – const
6. Целеполагание через задачу: 5 мин.
Задача. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Какова вероятность выиграть две партии из четырех?
Какова вероятность выиграть три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?
Вопрос. Подумайте и назовите, чем отличаются вопросы данной задачи от вопросов предыдущих задач?
Рассуждением, сравнением добиться ответа: в вопросах m и n – разные.
7. Тема урока:
Вычисление вероятности появления события к раз из n опытов при р-const.
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.
Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0
или Приложение 2 формула Бернулли, где k,n-малые числа где q = 1-p
Решение: Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша p=1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли. 5 мин
Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:
Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:
Так как P4 (2)> P6 (3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.
8. Задача.
Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
k=70, n=243 Отсюда следует k и n — большие числа. Значит, по формуле Бернулли считать сложно. Для таких случаев применяется локальная формула Лапласа:
Приложение 3 для положительных значений х приведена в приложении 4 ; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей и = .
9. Составляем алгоритм решения задачи: 5 мин.
- найдем значение х и округляем до сотых (0,01);
- по таблице функции Лапласа найдем;
- подставим значение функции Лапласа в формулу Лапласа
10. Решение задачи с разбором у доски. Приложение 5. 10 мин.
11. Обобщение информации урока через презентации
- краткая информация о разделе “Теория вероятностей”; 5 мин.
- исторические материалы об ученых Бернулли и Лапласе. 5 мин.
1. Два равносильных игрока играют в игру, ничьи в которой исключаются. Какова вероятность для первого игрока выиграть: а) одну партию из двух? б) две из четырех? в) три из шести?
Ответ: а) ; б) ; в)
3. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С, а две - правее.
Ответ:
4.Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
Ответ: .
5.Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных мальчиков и девочек окажется поровну.
Ответ: 0,0782
6. Магазин получил 500 бутылок в стеклянной таре. Вероятность того, что при перевозке любая из бутылок окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) не менее двух; г) хотя бы одну.
Ответ: а) 0,22; б) 0,20; в) 0,80; г) 0,95
7. Автомобильный завод выпускает 80% автомобилей без существенных дефектов. Какова вероятность того, что среди 600 автомобилей, поступивших с завода на автомобильную биржу, окажется не менее 500 автомобилей без существенных дефектов?
Ответ: 0,02.
8. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что относительная частота появлений герба отклонится от вероятности р =0,5 появления герба при одном бросании монеты не более, чем на 0,02?
Ответ: n ≥ 2401.
9. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых событий постоянна и равна p =0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
Ответ: а) , б) , в) .
10. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях.
Ответ:
11. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности p =0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01.
Ответ: n = 1764.
12. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.
Ответ: .
13. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n , при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
Определение. Два уравнения f 1 (х) = g 1 (х) и f 2 (х) = g 2 (х) называются равносильными, если множества их корней совпадают.
Например, уравнения х 2 - 9 = 0 и (2 х + 6)( х - 3) = 0 равносильны, так как оба имеют своими корнями числа 3 и -3. Равносильны и уравнения (3х + 1)-2 = х 2 - + 1 и х 2 + 1 = 0, так как оба не имеют корней, т.е. множества их корней совпадают.
Определение. Замена уравнения равносильным ему уравнением называется равносильным преобразованием.
Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать равносильные уравнения.
Теорема 1. Пусть уравнение f(х) и g(х) задано на множестве и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнения f(х) = g(х) (1)и f(х) + h (x ) = g(х) + h (x ) (2) равносильны.
Доказательство. Обозначим через Т 1 - множество решений уравнения (1), а через Т 2 - множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т 1 = Т 2 . Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т 1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т 2 является корнем уравнения (1).
Пусть число а - корень уравнения (1). Тогда a ? Т 1 , и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a) = g(a) , а выражение h(х) обращает в числовое выражение h (a ), имеющее смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинного равенства f(a) = g(a) числовое выражение h (a ). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f(a) + h (a ) = g(a) + h (a ), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).
Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т 1 с T 2 .
Пусть теперь а - корень уравнения (2). Тогда а ? T 2 и при подстановке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(a) + h (a ) = g(a) + h (a ). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение -h (a ), Получим истинное числовое равенство f(х) = g(х), которое свидетельствует о том, что число а - корень уравнения (1).
Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т.е. T 2 с Т 1 .
Так как Т 1 с Т 2 и Т 2 с Т 1 , то по определению равных множеств Т 1 = Т 2 , а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.
Данную теорему можно сформулировать иначе: если к обеим частям уравнения с областью определения X прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному.
Из этой теоремы вытекают следствия, которые используются при решении уравнений:
1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то лее число, то получим уравнение, равносильное данному.
2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Пусть уравнение f(х) = g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, которое определено на том же множестве и не обращается в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения f(х) = g(х) и f(х) · h (x ) = g(х) · h (x ) равносильны.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
Теорему 2 можно сформулировать иначе: если обе части уравнения с областью определения X умножить на одно и то же выражение, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.
Решение уравнений с одной переменной
Решим уравнение 1- x /3 = x /6, x ? R и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.
Преобразования | Обоснование преобразования |
1. Приведем выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, к общему знаменателю: (6-2х )/ 6 = х /6 | Выполнили тождественное преобразование выражения в левой части уравнения. |
2. Отбросим общий знаменатель: 6-2х = х | Умножили на 6 обе части уравнения (теорема 2), получили уравнение, равносильное данному. |
3. Выражение -2х переносим в правую часть уравнения с противоположным знаком: 6 = х +2х . | Воспользовались следствием из теоремы 1, получили уравнение, равносильное предыдущему и, значит, данному. |
4. Приводим подобные члены в правой части уравнения: 6 = 3х . | Выполнили тождественное преобразование выражения. |
5. Разделим обе части уравнения на 3: х = 2. | Воспользовались следствием из теоремы 2, получили уравнение, равносильное предыдущему, а значит, и данному |
Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2 - корень этого уравнения.
Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, чтобы они приводили к уравнению, равносильному данному.
Рассмотрим, например, уравнение х(х - 1) = 2х, х ? R . Разделим обе части на х , получим уравнение х - 1 = 2, откуда х = 3, т. е. данное уравнение имеет единственный корень - число 3. Но верно ли это? Нетрудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство 0·(0 - 1) = 2·0. А это означает, что 0 - корень данного уравнения, который мы потеряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что мы сделали, - это разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение1/x , но при х = О оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.
Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравнения состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое его решение. Перенесем выражение 2х из правой части в левую: х(х - 1) - 2х = 0. Вынесем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены: х(х - 3) = 0. Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому x = 0 или х - 3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения - 0 и 3.
В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Например, решение уравнения (х ·9):24 = 3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х ·9 = 24·3, или х ·9 = 72.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х = 72:9, или х = 8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.
Упражнения
1 . Установите, какие из следующих записей являются уравнениями с одной переменной:
а) (х -3)·5 = 12х ; г) 3 + (12-7)· 5 = 16;
б) ( х -3)·5 = 12; д) (х -3)· y =12х ;
в) (х -3)·17 + 12; е) х 2 - 2х + 5 = 0.
2. Уравнение 2 х 4 + 4 х 2 -6 = 0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнения, а 2 и -1 не являются его корнями.
3. В уравнении (х + ...)(2 х + 5) - (х - 3)(2 х + 1) = 20 одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что корнем этого уравнения является число 2.
4. Сформулируйте условия, при которых:
а) число 5 является корнем уравнения f(х) = g(х);
б) число 7 не является корнем уравнения f(х) = g(х) .
5. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:
а) 3 + 7 х = -4 и 2(3 + 7л х ) = -8;
6)3 + 7 х = -4 и 6 + 7 х = -1;
в)3 + 7 х = -4 и л х + 2 = 0.
6. Сформулируйте свойства отношения равносильности уравнений. Какие из них используются в процессе решения уравнения?
7. Решите уравнения (все они заданы на множестве действительных чисел) и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:
a)(7x +4)/2 – x = (3x -5)/2;
б) x –(3x -2)/5 = 3 – (2x -5)/3;
в)(2- х )2- х (х + 1,5) = 4.
8. Учащийся решил уравнение 5 х + 15 = 3 х + 9 следующим образом: вынес за скобки в левой части число 5, а в правой число 3, получил уравнение 5(х + 3) = 3(х + 3), а затем разделил обе части на выражение х + 3. Получил равенство 5 = 3 и сделал вывод – данное уравнение корней не имеет. Прав ли учащийся?
9. Решите уравнение 2/(2-x ) – ½ = 4/((2-x )x ); х ? R . Является ли число 2 корнем этого уравнения?
10. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:
а) (х + 70)·4 = 328; в) (85 х + 765): 170 = 98;
б) 560: (х + 9) - 56; г) (х - 13581):709 = 306.
11. Решите задачи арифметическим и алгебраическим способами:
а) На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каждой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг будет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?
б) Весь путь от турбазы до станции, равный 26 км, велосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время - со скоростью на 3 км/ч меньше. Найдите скорость велосипедиста на первом участке пути.