Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.
Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.
Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:
Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.
Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.
Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.
Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!
Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.
Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:
- Плюс на минус дает минус;
- Минус на минус дает плюс.
Разберем все это на конкретных примерах:
Задача. Найдите значение выражения:
В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:
Что делать, если знаменатели разные
Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.
Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю », поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.
Что делать, если у дроби есть целая часть
Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.
Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:
- Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
- Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
- Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.
Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь ». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:
Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.
Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.
Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.
Резюме: общая схема вычислений
В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:
- Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
- Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
- Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
- Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.
Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.
Умножение и деление дробей.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:
Например:
Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:
Например:
Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями - ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе - и вперёд! Например:
В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:
Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:
Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:
В первом случае (выражение слева):
Во втором (выражение справа):
Чувствуете разницу? 4 и 1/9!
А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:
то делим-умножаем по порядочку, слева направо !
И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:
Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.
Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!
Практические советы:
1. Самое главное при работе с дробными выражениями - аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.
2. В примерах с разными видами дробей - переходим к обыкновенным дробям.
3. Все дроби сокращаем до упора.
4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).
5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.
Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы...
Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.
Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все - проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.
Вычислить:
Порешали?
Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать... Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
А теперь делаем выводы. Если всё получилось - рад за вас! Элементарные вычисления с дробями - не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет...
Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но... Это решаемые проблемы.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» - сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.
Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые
Дроби - это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:
- Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m - b/m = (k-b)/m.
Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби - «19».
На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.
Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей - «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, - «47».
Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель
Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.
- Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число - числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.
Рассмотрим, как это выглядит на примере:
1/4 + 2/4 = 3/4.
К числителю первой слагаемой дроби - «1» - добавляем числитель второй слагаемой дроби - «2». Результат - «3» - записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, - «4».
Дроби с различными знаменателями и их вычитание
Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.
- 2/3 - в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18. - 7/9 или 7/(3 х 3) - в знаменателе не хватает двойки:
7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18. - 5/6 или 5/(2 х 3) - в знаменателе не хватает тройки:
5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18. - Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
- Число 15 состоит из 5 х 3.
- Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.
- 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
- 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.
- Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, - числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
- Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
- Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
- При получении неправильной дроби выделить целую часть.
Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.
О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.
Свойство дроби
Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.
Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю
Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.
Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.
Рассмотрим первую дробь - 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.
Аналогично производим действия с оставшимися дробями.
Все вместе это выглядит так:
Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели
Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.
Рассмотрим это на примере: 4/18 - 3/15.
Находим кратное чисел 18 и 15:
После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.
Следующий этап нашего решения - приведение каждой дроби к знаменателю «90».
Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:
(4 х 5)/(18 х 5) - (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.
Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.
Вычитание и имеющих целые части
Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:
Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.
Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.
Вычитание дробей из целого числа
Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:
7 - 4/9 = (7 х 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.
Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дроби числителем является число 5, а знаменателем — 7.
Правильной называется дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя. Если дробь является правильной, то модуль её значения всегда меньше 1. Все остальные дроби являются неправильными .
Дробь называют смешанной , если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби:
Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть, например,
Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:
- Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй
- Числитель второй дроби умножить на знаменатель первой
- Знаменатели обеих дробей заменить на их произведение
Действия с дробями
Сложение. Чтобы сложить две дроби, нужно
- Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений
Пример:
Вычитание. Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно
- Привести дроби к общему знаменателю
- Вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений
Пример:
Умножение. Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели.
Чтобы выразить часть в долях целого, нужно часть разделить на целое.
Задача 1. В классе 30 учащихся, отсутствуют четверо. Какая часть учащихся отсутствует?
Решение:
Ответ: в классе отсутствует учащихся.
Нахождение дроби от числа
Для решения задач, в которых требуется найти часть целого справедливо следующее правило:
Если часть целого выражена дробью, то чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель.
Задача 1. Было 600 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег истратили?
Решение: чтобы найти от 600 рублей, надо эту сумму разделить на 4 части, тем самым мы узнаем, сколько денег составляет одна четвёртая часть:
600: 4 = 150 (р.)
Ответ: истратили 150 рублей.
Задача 2. Было 1000 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег было истрачено?
Решение: из условия задачи мы знаем, что 1000 рублей состоит из пяти равных частей. Сначала найдём сколько рублей составляет одна пятая часть от 1000, а затем узнаем сколько рублей составляют две пятых:
1) 1000: 5 = 200 (р.) - одна пятая часть.
2) 200 · 2 = 400 (р.) - две пятых части.
Эти два действия можно объединить: 1000: 5 · 2 = 400 (р.).
Ответ: было истрачено 400 рублей.
Второй способ нахождения части целого:
Чтобы найти часть целого, можно умножить целое на дробь, выражающую эту часть целого.
Задача 3. По уставу кооператива, для правомочности отчётного собрания на нём должно присутствовать не менее членов организации. В кооперативе 120 членов. При каком составе может состояться отчётное собрание?
Решение:
Ответ: отчётное собрание может состояться при наличии 80 членов организации.
Нахождение числа по его дроби
Для решения задач, в которых требуется найти целое по его части справедливо следующее правило:
Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель.
Задача 1. Потратили 50 рублей, это составило от первоначальной суммы. Найдите первоначальную сумму денег.
Решение: из описания задачи мы видим, что 50 рублей в 6 раз меньше первоначальной суммы, т. е. первоначальная сумма в 6 раз больше, чем 50 рублей. Чтобы найти эту сумму, надо 50 умножить на 6:
50 · 6 = 300 (р.)
Ответ: первоначальная сумма - 300 рублей.
Задача 2. Потратили 600 рублей, это составило от первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму.
Решение: будем считать, что искомое число состоит из трёх третьих долей. По условию две трети числа равны 600 рублей. Сначала найдём одну треть от первоначальной суммы, а затем сколько рублей составляют три третьих (первоначальная сумма):
1) 600: 2 · 3 = 900 (р.)
Ответ: первоначальная сумма - 900 рублей.
Второй способ нахождения целого по его части:
Чтобы найти целое по величине выражающей его часть, можно разделить эту величину на дробь, выражающую данную часть.
Задача 3. Отрезок AB , равный 42 см, составляет длины отрезка CD . Найти длину отрезка CD .
Решение:
Ответ: длина отрезка CD 70 см.
Задача 4. В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал , после обеда - привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько всего арбузов привезли в магазин?
Решение: сначала узнаем, какую часть от привезённых арбузов составляет число 80. Для этого примем за единицу общее количество привезённых арбузов и вычтем из неё то количество арбузов, которое получилось реализовать (продать):
И так, мы узнали, что 80 арбузов составляет от общего количества привезённых арбузов. Теперь узнаем сколько арбузов от общего количества составляет , а затем сколько арбузов составляют (количество привезённых арбузов):
2) 80: 4 · 15 = 300 (арбузов)
Ответ: всего в магазин привезли 300 арбузов.
