Правило исследования функции на монотонность. Монотонность функций

Экстремумы и выпуклость.

Асимптоты графика функции

Определение. Критической точкой функции у = f (х ) называется точка в которой производная равна нулю или не существует.

Теорема. Если в промежутке (а; b) производная положительна/отрицательна, то в этом промежутке функция возрастает/убывает.

Теорема. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «+» на «−» (с «−» на «+»), то − точка максимума (минимума) функции

Определение. Функция называется выпуклой вверх(вниз) в промежутке (а; b), если в этом промежутке точки графика лежат под (над) касательными, построенными в этих точках. Точкой перегиба называется точка графика функции, которая делит его на части с разными направлениями выпуклости.

Пример 2.3.

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы, выпуклость.

1. Исследуем функцию на монотонность и экстремумы.

Сделаем рисунок (рис. 2.1 ).

y′′

−

вып. вниз

вып. вверх

вып. вниз

Рис. 2.2. Исследование функции на выпуклость

Вычислим ординаты точек перегиба графика:

Координаты точек перегиба: (0; 0), (1; −1).

2.32. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.33. Найти наименьшее и наибольшее значенияфункции:

1) на промежутке ;

2) на промежутке [−1; 1];

3) на промежутке [−4; 4];

4) на промежутке [−2; 1].

2.34. Издержки производства С (у. е.) зависят от объема выпускаемой продукции х (ед.): Найти наибольшие издержки производства, если х изменяется на промежутке . Найти значение х , при котором прибыль будет максимальной, если выручка от реализации единицы продукции равна 15 у. е.

2.35. Требуется выделить прямоугольную площадку земли в 512 м 2 , огородить ее и разделить забором на три равные части параллельно одной из сторон площадки. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы на ограждение пошло наименьшее количество материала?

2.36. При заданном периметре прямоугольного окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало наибольшее количество света.

2.37. Найти максимум прибыли, если доход R и издержки C определяются формулами: где х − количество реализованного товара.

2.38. Зависимость объема выпуска продукции W от капитальных затрат К определяется функцией
Найти интервал изменения К , на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.

2.39. Функция издержек имеет вид Доход от реализации единицы продукции равен 200. Найти оптимальное для производителя значение выпуска продукции.

2.40. Зависимость объема выпуска продукции (в денежных единицах) от капитальных затрат определяется функцией Найти интервал значений , на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.

2.41. Считается, что увеличение реализации от затрат на рекламу (млн руб.) определяется соотношением Доход от реализации единицы продукции равен 20 тыс. руб. Найти уровень рекламных затрат, при котором фирма получит максимальную прибыль.

2.42. Доход от производства продукции с использованием единиц ресурса составляет величину Стоимость единицы ресурса – 10 ден. ед. Какое количество ресурса следует приобрести, чтобы прибыль была наибольшей?

2.43. Функция издержек имеет вид Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.

2.44. Зависимость дохода монополии от количества выпускаемой продукции определяется как Функция издержек на этом промежутке имеет вид Найти оптимальное для монополии значение выпуска продукции.

2.45. Цена на продукцию монополии-производителя устанавливается в соответствии с отношением, идентифицируемым как . При каком значении выпуска продукции доход от ее реализации будет наибольшим?

2.46. Функция издержек имеет следующий вид при при . В настоящий момент уровень выпуска продукции При каком условии на параметр p фирме выгодно уменьшить выпуск продукции, если доход от реализации единицы продукции равен 50?

Урок и презентация по алгебре в 10 классе на тему: "Исследование функции на монотонность. Алгоритм исследования"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Что будем изучать:
1. Убывающие и возрастающие функции.
2. Связь производной и монотонности функции.
3. Две важные теоремы о монотонности.
4. Примеры.

Ребята, ранее мы с вами рассмотрели множество различных функций и строили их графики. Теперь давайте введем новые правила, которое работают для всех функций, которые мы рассматривали и еще будем рассматривать.

Убывающие и возрастающие функции

Давайте рассмотрим понятие возрастающей и убывающей функции. Ребята, а что такое функция?

Функцией называется соответствие y= f(x), в котором каждому значению x ставится в соответствие единственное значение y.

Посмотрим на график некоторой функции:

На нашем графике видно: чем больше x, тем меньше y. Итак, давайте дадим определение убывающей функции. Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Если x2 > x1, то f(x2) Теперь давайте рассмотрим график такой функции:
На этом графике видно: чем больше x, тем больше y. Итак, давайте дадим определение возрастающей функции. Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значения функции.
Если x2 > x1, то f(x2 > f(x1) или: чем больше x, тем больше y.

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то говорят, что она монотонна на данном промежутке .

Связь производной и монотонности функции

Ребята, а теперь давайте подумаем, как можно применять понятие производной при исследовании графиков функций. Нарисуем график возрастающей дифференцируемой функции и проведем пару касательных к нашему графику.

Если посмотреть на наши касательные или зрительно провести любую другую касательную, то можно заметить, что угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс будет острым. Значит, касательная имеет положительный угловой коэффициент. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Таким образом, значение производной положительно во всех точках нашего графика. Для возрастающей функции выполняет следующее неравенство: f"(x) ≥ 0, для любой точки x.

Ребята, теперь давайте посмотрим на график некоторой убывающей функции и построим касательные к графику функции.

Посмотрим на касательные и зрительно проведем любую другую касательную. Мы заметим, что угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс - тупой, а значит касательная имеет отрицательный угловой коэффициент. Таким образом, значение производной отрицательно во всех точках нашего графика. Для убывающей функции выполняет следующее неравенство: f"(x) ≤ 0, для любой точки x.

Итак, монотонность функции зависит от знака производной:

Если функция возрастает на промежутке и имеет производную на этом промежутке, то эта производная будет не отрицательна.

Если функция убывает на промежутке и имеет производную на этом промежутке, то эта производная будет не положительна.

Важно , чтобы промежутки, на которых мы рассматриваем функцию были открытыми!

Две важные теоремы о монотонности

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’(x) ≥ 0 (причем равенство производной нулю либо не выполняется, либо выполняется, но лишь в конечном множестве точек), то функция y= f(x) возрастает на промежутке Х.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’(x) ≤ 0 (причем равенство производной нулю либо не выполняется, либо выполняется, но лишь в конечном множестве точек), то функция y= f(x) убывает на промежутке Х.

Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется равенство
f’(x)= 0, то функция y= f(x) постоянна на этом промежутке.

Примеры исследования функции на монотонность

1) Доказать, что функция y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 возрастает на всей числовой прямой.

Решение: Найдем производную нашей функции: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Т.к. степень при x четная, то степенная функция принимает только положительные значения. Тогда y" > 0 для любого x, а значит по теореме 1, наша функция возрастает на всей числовой прямой.

2) Доказать, что функция убывает: y= sin(2x) - 3x.

Найдем производную нашей функции: y"= 2cos(2x) - 3.
Решим неравенство:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Т.к. -1 ≤ cos(x) ≤ 1, значит наше неравенство выполняется для любых x, тогда по теореме 2 функция y= sin(2x) - 3x убывает.

3) Исследовать на монотонность функцию: y= x 2 + 3x - 1.

Решение: Найдем производную нашей функции: y"= 2x + 3.
Решим неравенство:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Тогда наша функция возрастает при x ≥ -3/2, а убывает при x ≤ -3/2.
Ответ: При x ≥ -3/2 - функция возрастает, при x ≤ -3/2 - функция убывает.

4) Исследовать на монотонность функцию: y= $\sqrt{3x - 1}$.

Решение: Найдем производную нашей функции: y"= $\frac{3}{2\sqrt{3x - 1}}$.
Решим неравенство: $\frac{3}{2\sqrt{3x - 1}}$ ≥ 0.

Наше неравенство больше либо равно нуля:
$\sqrt{3x - 1}$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Решим неравенство:
$\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$ ≤ 0,

$\sqrt{3x-1}$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Но это невозможно, т.к. квадратный корень определен только для положительных выражений, значит промежутков убывания у нашей функции нет.
Ответ: при x ≥ 1/3 функция возрастает.

Задачи для самостоятельного решения

а) Доказать, что функция y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 возрастает на всей числовой прямой.
б) Доказать, что функция убывает: y= cos(5x) - 7x.
в) Исследовать на монотонность функцию: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
г) Исследовать на монотонность функцию: y = $\frac{3x-1}{3x+1}$.

возрастающей на промежутке $X$ , если для любых $x_1, x_2\in X$ , таких что \(x_1

Функция называется неубывающей

$\blacktriangleright$ Функция $f(x)$ называется убывающей на промежутке $X$ , если для любых $x_1, x_2\in X$ , таких что $x_1f(x_2)$ .

Функция называется невозрастающей на промежутке $X$ , если для любых $x_1, x_2\in X$ , таких что \(x_1

$\blacktriangleright$ Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными , а невозрастающие и неубывающие - просто монотонными .

$\blacktriangleright$ Основные свойства:

I. Если функция $f(x)$ - строго монотонна на $X$ , то из равенства $x_1=x_2$ ($x_1,x_2\in X$ ) следует $f(x_1)=f(x_2)$ , и наоборот.

Пример: функция $f(x)=\sqrt x$ является строго возрастающей при всех $x\in $ , поэтому уравнение $x^2=9$ имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее одно: $x=-3$ .

функция $f(x)=-\dfrac 1{x+1}$ является строго возрастающей при всех $x\in (-1;+\infty)$ , поэтому уравнение $-\dfrac 1{x+1}=0$ имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее ни одного, т.к. числитель левой части никогда не может быть равен нулю.

III. Если функция $f(x)$ - неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке  , причем на концах отрезка она принимает значения $f(a)=A, f(b)=B$ , то при $C\in $ ($C\in $ ) уравнение $f(x)=C$ всегда имеет хотя бы одно решение.

Пример: функция $f(x)=x^3$ является строго возрастающей (то есть строго монотонной) и непрерывной при всех $x\in\mathbb{R}$ , поэтому при любом $C\in (-\infty;+\infty)$ уравнение $x^3=C$ имеет ровно одно решение: $x=\sqrt{C}$ .

Задание 1 #3153

Уровень задания: Легче ЕГЭ

имеет ровно два корня.

Перепишем уравнение в виде: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Рассмотрим функцию $f(t)=t^3+t$ . Тогда уравнение перепишется в виде: \ Исследуем функцию $f(t)$ . \ Следовательно, функция $f(t)$ возрастает при всех $t$ . Значит, каждому значению функции $f(t)$ соответствует ровно одно значение аргумента $t$ . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: \ Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: \

Ответ:

$\left(-\infty;\dfrac1{12}\right)$

Задание 2 #2653

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение \

имеет два корня.

(Задача от подписчиков.)

Сделаем замену: $ax^2-2x=t$ , $x^2-1=u$ . Тогда уравнение примет вид: \ Рассмотрим функцию $f(w)=7^w+\sqrtw$ . Тогда наше уравнение примет вид: \

Найдем производную \ Заметим, что при всех $w\ne 0$ производная $f"(w)>0$ , т.к. $7^w>0$ , $w^6>0$ . Заметим также, что сама функция $f(w)$ определена при всех $w$ . Т.к. к тому же $f(w)$ непрерывна, то мы можем сделать вывод, что $f(w)$ возрастает на всем $\mathbb{R}$ .
Значит, равенство $f(t)=f(u)$ возможно тогда и только тогда, когда $t=u$ . Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:

\ Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным:

\[\begin{cases} a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Ответ:

$(-\infty;1)\cup(1;2)$

Задание 3 #3921

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все положительные значения параметра $a$ , при которых уравнение

имеет как минимум $2$ решения.

Перенесем все слагаемые, содержащие $ax$ , влево, а содержащие $x^2$ – вправо, и рассмотрим функцию
\

Тогда исходное уравнение примет вид:
\

Найдем производную:
\

Т.к. $(t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0$ , то $f"(t)\geqslant 0$ при любых $t\in \mathbb{R}$ .

Причем $f"(t)=0$ , если $(t-2)^2=0$ и $1+\cos{2t}=0$ одновременно, что не выполняется ни при каких $t$ . Следовательно, $f"(t)> 0$ при любых $t\in \mathbb{R}$ .

Таким образом, функция $f(t)$ строго возрастает при всех $t\in \mathbb{R}$ .

Значит, уравнение $f(ax)=f(x^2)$ равносильно уравнению $ax=x^2$ .

Уравнение $x^2-ax=0$ при $a=0$ имеет один корень $x=0$ , а при $a\ne 0$ имеет два различных корня $x_1=0$ и $x_2=a$ .
Нам нужно найти значения $a$ , при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что $a>0$ .
Следовательно, ответ: $a\in (0;+\infty)$ .

Ответ:

$(0;+\infty)$ .

Задание 4 #1232

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение \

имеет единственное решение.

Домножим правую и левую части уравнения на $2^{\sqrt{x+1}}$ (т.к. $2^{\sqrt{x+1}}>0$ ) и перепишем уравнение в виде: \

Рассмотрим функцию $y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}$ при $t\geqslant 0$ (т.к. $\sqrt{x+1}\geqslant 0$ ).

Производная $y"=\left(-2^t\cdot \log_9{(t+2)}\right)"=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left(\ln 2\cdot \ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)$ .

Т.к. $2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0$ при всех $t\geqslant 0$ , то $y"<0$ при всех $t\geqslant 0$ .

Следовательно, при $t\geqslant 0$ функция $y$ монотонно убывает.

Уравнение можно рассматривать в виде $y(t)=y(z)$ , где $z=ax, t=\sqrt{x+1}$ . Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если $t=z$ .

Значит, уравнение равносильно уравнению: $ax=\sqrt{x+1}$ , которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases} a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end{cases}\]

При $a=0$ система имеет одно решение $x=-1$ , которое удовлетворяет условию $ax\geqslant 0$ .

Рассмотрим случай $a\ne 0$ . Дискриминант первого уравнения системы $D=1+4a^2>0$ при всех $a$ . Следовательно, уравнение всегда имеет два корня $x_1$ и $x_2$ , причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета $x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0$ ).

Это значит, что при $a<0$ условию $ax\geqslant 0$ подходит отрицательный корень, при $a>0$ условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение.

Значит, $a\in \mathbb{R}$ .

Ответ:

$a\in \mathbb{R}$ .

Задание 5 #1234

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение \

имеет хотя бы один корень из отрезка $[-1;0]$ .

Рассмотрим функцию $f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3$ при некотором фиксированном $a$ . Найдем ее производную: $f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2+(x-1)^2)$ .

Заметим, что $f"(x)\geqslant 0$ при всех значениях $x$ и $a$ , причем равна $0$ только при $x=a=1$ . Но при $a=1$ :
$f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow$ уравнение $2(x-1)^3=0$ имеет единственный корень $x=1$ , не удовлетворяющий условию. Следовательно, $a$ не может быть равно $1$ .

Значит, при всех $a\ne 1$ функция $f(x)$ является строго возрастающей, следовательно, уравнение $f(x)=0$ может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график $f(x)$ при некотором фиксированном $a$ будет выглядеть следующим образом:

Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка $[-1;0]$ , необходимо: \[\begin{cases} f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(a^2+3)\leqslant 0\\ (a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end{cases} \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Таким образом, $a\in [-2;0]$ .

Ответ:

$a\in [-2;0]$ .

Задание 6 #2949

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2})=0\]

имеет корни.

(Задача от подписчиков)

ОДЗ уравнения: $2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in $ . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad {\small{\text{или}}}\quad \sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0\] имело решения на ОДЗ.

1) Рассмотрим первое уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=2a+2\\ &\sin x=3\\ \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Данное уравнение должно иметь корни на  . Рассмотрим окружность:

Таким образом, мы видим, что для любых $2a+2\in [\sin 0;\sin 1]$ уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при $a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]$ уравнение имеет решения.

2) Рассмотрим второе уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt{x-x^2}=-a\]

Рассмотрим функцию $f(x)=8x\sqrt{x-x^2}$ . Найдем ее производную: \ На ОДЗ производная имеет один ноль: $x=\frac34$ , который к тому же является точкой максимума функции $f(x)$ .
Заметим, что $f(0)=f(1)=0$ . Значит, схематично график $f(x)$ выглядит так:

Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график $f(x)$ пересекался с прямой $y=-a$ (на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы \ . При этих $x$ :

Функция $y_1=\sqrt{x-1}$ является строго возрастающей. Графиком функции $y_2=5x^2-9x$ является парабола, вершина которой находится в точке $x=\dfrac{9}{10}$ . Следовательно, при всех $x\geqslant 1$ функция $y_2$ также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то $f_a(x)$ – строго возрастает (константа $3a+8$ не влияет на монотонность функции).

Функция $g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}$ при всех $x\geqslant 1$ представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей.

Решить уравнение $f_a(x)=g_a(x)$ - значит найти точки пересечения функций $f$ и $g$ . Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня.

При $x\geqslant 1$ \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0. Следовательно, уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если:

\\cup

Ответ:

\(a\in (-\infty;-1]\cup;

3) на промежутке [−4; 4];

4) на промежутке [−2; 1].

2.38. Зависимость объема выпуска продукции W от капитальных затрат К определяется функцией Найти интервал изменения К , на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.

2.47. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции:

2.48. Найти асимптоты графика функции:

Указание. Вертикальнаяасимптотаимеет уравнение х = а, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке х = а равен ∞.

Наклоннаяасимптота имеет уравнение

2.4.2. Общая схема исследования функции

и построения ее графика

1. Найти область определения функции и установить наличие вертикальных асимптот.

2. Исследовать функцию на четность/нечетность, периодичность.

3. Установить наличие наклонных (горизонтальных) асимптот.

4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

5. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика.

6. Найти точки пересечения графика с осями координат и дополнительные точки, уточняющие график.

2.49. Исследовать функцию и построить ее график:

Контрольные задания

Вариант 1.

Вариант 2.

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 3.

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Неопределенный интеграл

Определение. Функция F (x ) называется первообразной функции f (x ) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F′ (x ) = f (x ).

Определение. Неопределенным интегралом от функции f (x ) называется семейство ее первообразных:

где F(x) – некоторая первообразная для f (x );

C – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла

Таблица интегралов

3. Частный случай:

Частный случай:

Частный случай

Примеры.

2.50. Найти интегралы:

7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ; 14) .

2.51. Найти интегралы:

1) 2) 3) ; 4) ;

9) 10) 11) 12)

13) ; 14) ; 15) ; 16) ;

2.5.1. Метод замены переменной

в неопределенном интеграле

где – дифференцируемая функция.

Примеры.

2.52. Найти интегралы методом замены переменной:

10) ; 11) 12) ;

13) 14) 15) ;

16) ; 17) ; 18)

Пример 2.4.

2.53. Найти интегралы от рациональных функций.

1) ; 2) ; 3) dx ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) 8) 9) dx ;

10) ; 11) ; 12)

Пример 2.5.

2.54. Найти интегралы от иррациональных функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

2.55. Найти интегралы от тригонометрических функций:

5) ; 6) ; 7) 8)

2.5.2. Метод интегрирования по частям

в неопределенном интеграле

Пусть u= u(x) , v= v(x) – дифференцируемые функции. Тогда справедливо равенство (формула интегрирования по частям ):

Примеры.

2.56. Найти интегралы, применяя интегрирование по частям:

9) 10) 11) 12)

2.57. Найти интегралы:

1) 2) 3) ; 4) ;

5) 6) ; 7) 8) dx ;

9) 10) ; 11) 12)

Определенный интеграл

Определение. Определенным интегралом от функции f (х ) называется предел интегральной суммы:

При этом функция f(х) называется подынтегральной функцией, а и b – нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Укажем свойства определенного интеграла , которые будут необходимы при решении задач:

Геометрический смысл определенного интеграла : площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = f (х ), равна

2.6.1. Правила вычисления определенного интеграла

1. Формула Ньютона–Лейбница:

где F′ (x ) = f (x ).

2. Замена переменной:

где x = – функция, непрерывная вместе с на отрезке – функция, непрерывная на отрезке .

3. Интегрирование по частям:

где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые на функции.

4. Если f(x) – нечетная функция, то

5. Если f(x) – четная функция, то

Примеры.

2.58. Вычислить интегралы:

1) 2) 3) ; 4)

5) ; 6) 7) ; 8)

9) 10) 11) ; 12)

13) 14) 15) 16)

2.6.2. Геометрические приложения

определенного интеграла

Пример 2.6.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2 , х = у 2 .

Графики функций пересекаются в точках (0; 0), (1; 1) (рис. 2.3 ).

у = х 2

у = √х

Рис. 2.3. Площадь фигуры

2.59. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

2.60. Найти объем тела, образованного вращением вокруг осей Ох и Оу плоской фигуры, ограниченной линиями:

Указание. Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг осей координат Ох и Оу, соответственно равен:

2.61. Найти длину дуги кривой:

1) от х = 0 до х = 1; 2) от х = 0 до х = 1;

3) от точки О(0; 0) до точки А (4; 8).

Указание. Длина дуги кривой при равна

Похожая информация.

Общая схема исследования функции

Найти область определения функции. Выяснить характер поведения функции в граничных точках области определения.
Выяснить обладает ли функция особенностями: четность, нечетность, периодичность.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат.