Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши , а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей :
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится
к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое
. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится
к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают
.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию .
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ?
, , , …
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности :
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ .
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает
:
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .
! Примечание : строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом .
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций . После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует !
На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже:
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример:
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени .
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Пример 2
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее
значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 3
Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число , ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу .
Пример 4
Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило : если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители .
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики . Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.
Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: .
В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.
! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.
Далее находим корни:
Таким образом:
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители.
Пример 5
Вычислить предел
Сначала «чистовой» вариант решения
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
Знаменатель:
,
Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.
Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела
. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.
Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.
! Важно
В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь
нельзя
. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.
Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Пример 6
Найти предел
Начинаем решать.
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела
. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.
Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме.
А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы: Замечательные пределы и Тригонометрические формулы . Их можно найти на странице . Лучше всего методички распечатать – это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне.
Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходится мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.
Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел , Второй замечательный предел . Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.
Первый замечательный предел
Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).
Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений ) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:
Данный математический факт носит название Первого замечательного предела . Аналитическое доказательство предела приводить не буду, а вот его геометрический смысл рассмотрим на уроке о бесконечно малых функциях .
Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:
– тот же самый первый замечательный предел.
Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.
На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю .
Примеры:
, , ,
Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.
А вот следующая запись – ересь:
Почему? Потому что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.
Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока.
На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки, и пришла в голову очень важная мысль – все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).
Переходим к рассмотрению практических примеров:
Пример 1
Найти предел
Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.
Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):
Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .
В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:
То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:
Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:
Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:
Кто позабыл упрощение многоэтажных дробей, пожалуйста, освежите материал в справочнике Горячие формулы школьного курса математики
.
Готово. Окончательный ответ:
Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:
“
Используем первый замечательный предел
“
Пример 2
Найти предел
Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:
Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):
Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:
Собственно, ответ готов:
В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.
Пример 3
Найти предел
Подставляем ноль в выражение под знаком предела:
Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материал Горячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы ).
В данном случае:
Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):
Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.
Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:
В итоге получена бесконечность, бывает и такое.
Пример 4
Найти предел
Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:
Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)
Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.
Постоянные множители вынесем за значок предела:
Организуем первый замечательный предел:
Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:
Избавимся от трехэтажности:
Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:
Пример 5
Найти предел
Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:
Некоторые пределы можно свести к 1-му замечательному пределу путём замены переменной, об этом можно прочитать чуть позже в статье Методы решения пределов .
Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела .
Справка: – это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности .
Пример 6
Найти предел
Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.
Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений .
Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :
Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :
Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :
При этом сам значок предела перемещаем в показатель
:
Пример 7
Найти предел
Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.
Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:
В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать .
Решение задач на нахождение пределов При решении задач на отыскание пределов следует помнить некоторые пределы, чтобы каждый раз не вычислять их заново. Комбинируя эти известные пределы, будем находить при помощи свойств, указанных в § 4, новые пределы. Для удобства приведем наиболее часто встречающиеся пре делы: Пределы 1 lim х - а х а 2 lim 1 = 0 3 lim х- ± со X ± 00 4 lim -L, = оо Х->о\Х\ 5 lim sin*-l X -о X 6 lim f(x) = f(a), если f (x) непрерывна x a Если известно, что функция непрерывна, то вместо нахождения предела вычисляем значение функции. Пример 1. Найти lim (х*-6л:+ 8). Так как много- Х->2 член-функция непрерывная, то lim (х*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. х-+2 х*_2х 4-1 Пример 2. Найти lim -г. . Сначала находим пре- Х-+1 х ~гъх дел знаменателя: lim [хг-\-Ъх)= 12 + 5-1 =6; он не равен Х-У1 нулю, значит, можно применить свойство 4 § 4, тогда x™i *" + &* ~~ lim {х2 Ъх) - 12 + 5-1 ""6 1 . Предел знаменателя X X равен нулю, поэтому свойство 4 § 4 применить нельзя. Так как числитель-постоянное число, а знаменатель [х2х)->-0 при х--1, то вся дробь неограниченно возрастает по абсолютной величине, т. е. lim " 1 Х-*- - 1 х* + х Пример 4. Найти lim \-ll*"!"» « Предел знаменателя равен нулю: lim (хг-6лг+ 8) = 2*-6-2 + 8 = 0, поэтому X свойство 4 § 4 неприменимо. Но предел числителя тоже равен нулю: lim (х2 - 5д; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Итак, пре- делы числителя и знаменателя одновременно равны нулю. Однако число 2 является корнем и числителя и знаменателя, поэтому дробь можно сократить на разность х-2 (по теореме Безу). В самом деле, х*-5х + 6 (х-2) (х-3) х-3 х"-6х + 8~ (х-2) (х-4) ~~ х-4 " следовательно, хг--f- 6 г х-3 -1 1 Пример 5. Найти lim хп (п целое, положительное). X со Имеем хп = X* X . . X, п раз Так как каждый множитель неограниченно растет, то и произведение также неограниченно растет, т. е. lim хп=оо. х оо Пример 6. Найти lim хп(п целое, положительное). X -> - СО Имеем хп = х х... х. Так как каждый множитель растет по абсолютной величине, оставаясь отрицательным, то в случае четной степени произведение будет неограниченно расти, оставаясь положительным, т. е. lim *п= + оо (при п четном). *-* -со В случае нечетной степени абсолютная величина произведения растет, но оно остается отрицательным, т. е. lim хп =- оо (при п нечетном). п -- 00 Пример 7. Найти lim . х х-*- со * Если т>пу то можно написать: m = n + kt где k>0. Поэтому хт Ь lim -=- = lim -=-= lim x . уП Yn х -х> А х ю Пришли к примеру 6. Если же ти уТЛ xm I lim lim lim т. X - О х-* ю Л X ->со Здесь числитель остается постоянным, а знаменатель растет по абсолютной величине, поэтому lim -ь = 0. Х-*оо X* Результат этого примера рекомендуется запомнить в следующем виде: Степенная функция растет тем быстрее, чем больше показатель степени. $хв_Зхг + 7 Пример 8. Найти lim g L -г-=.В этом примере х-*® «J* "Г ЬХ -ох-о и числитель и знаменатель неограниченно возрастают. Разделим и числитель и знаменатель на старшую степень х, т. е. на хв, тогда 3 7_ Пример 9. Найти lira . Совершая преобразова- * г ^ ния, получим lira . . ^ = lim X СО + 3 7 3 Так как lim -5 = 0, lim -, = 0, то предел знаменателя раде-*® Х X-+-CD Х вен нулю, в то время как предел числителя равен 1. Следовательно, вся дробь неограниченно возрастает, т. е. t. 7х hm Х-+ ю Пример 10. Найти lim Вычислим предел S знаменателя, помня, что cos*-функция непрерывная: lira (2 +cos x) = 2 + cosy =2. Тогда х->- S lim (l-fsin*) Пример 15. Найдем lim *<*-e>2 и lim е"(Х"а)\ Поло- Х-+ ± со X ± СО жим (л: - a)2 = z; так как (л;-а)2 всегда неотрицательно и неограниченно растет вместе с х, то при х- ±оо новое переменное z-*ос. Поэтому получаем цт £<*-«)* = X -> ± 00 s=lim ег = оо (см. замечание к §5). г -*■ со Аналогично lim е~(Х-а)2 = lim e~z=Q, так как х ± оо г м - (х- а)г неограниченно убывает при х->±оо (см. замечание к §
Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim - от английского limit - предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.